Pokročilé koncepty matic v kvantových výpočtech

  • Článek

Tento článek zkoumá koncepty vlastních hodnot, vlastních vektorů a exponenciálních hodnot. Tyto koncepty tvoří základní sadu maticových nástrojů, které se používají k popisu a implementaci kvantových algoritmů. Základy vektorů a matic, které platí pro kvantové výpočty, najdete v tématech Lineární algebra pro kvantové výpočty a Vektory a matice.

Hodnoty vlastních a vlastních vektorů

Nechť $M$ je čtvercová matice a $v$ vektor, který není vektorem všech nul (například vektor se všemi položkami rovnající se $0$).

$Vektor v$ je vlastní vektor M$, $pokud $Mv = cv$ pro nějaké číslo $c$. Celé číslo $c$ je předobjemná hodnota , která odpovídá číslu eigenvector $v$. Obecně platí, že matice $M$ může transformovat vektor na jakýkoli jiný vektor. Další vektor je ale speciální, protože se ponechá beze změny s výjimkou toho, že se vynásobí číslem. Všimněte si, že pokud $je v$ předdůchobný vektor s eigenvalue $c$, pak $je av$ také vektorem (pro jakékoli nenulové $a$) se stejnou hodnotou.

Například pro matici identit je každý vektor $v$ vlastní vektor s vlastní hodnotou $1$.

Jako další příklad si představte diagonální matici$D$, která má na diagonále pouze nenulové položky:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$

Vektory

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{a}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

jsou vektory této matice s vlastních hodnot $d_1$, $d_2$ a $d_3$. Pokud $d_1$, $d_2$ a $d_3$ jsou jedinečná čísla, jsou tyto vektory (a jejich násobky) jedinými vlastními vektory matice $D$. Obecně platí, že pro diagonální matici je snadné odečíst z vlastních hodnot a vlastních vektorů. Vlastní hodnoty jsou všechna čísla zobrazená na diagonále a jejich příslušné vlastní vektory jsou vektory jednotek s jednou položkou rovnou $1$ a zbývajícími položkami rovnajícími se $0$.

Ve výše uvedeném příkladu si všimněte, že vektory $D$ tvoří základ pro $3rozměrné$ vektory. Základ je množina vektorů, která umožňuje zapsat libovolný vektor jako jejich lineární kombinaci. Přesněji v_1$, v_2 a $v_3$ základem, pokud lze pro $některá čísla $$a_1, $a_2$$ a $a_3 zapsat $vektor v$= a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3.$$$$

V kvantových výpočtech existují v podstatě pouze dvě matice, se kterými se setkáte: poustevní a unitární. Připomeňme si, že Hermitská matice (označovaná také jako sebepřidružná) je komplexní čtvercová matice, která se rovná své vlastní komplexní konjugované transpozice, zatímco unitární matice je komplexní čtvercová matice, jejíž inverzní funkce se rovná její komplexní konjugované transpozice.

Existuje obecný výsledek známý jako spektrální věta, což znamená následující: pro každou poustevníkovou nebo unitární matici $M$ existuje unitární $U$ , jako $M=U^\dagger D U$ pro určitou diagonální matici $D$. Kromě toho diagonální položky $D$ budou hodnoty vlastních hodnot $M$ a sloupce $U^\dagger$ budou odpovídajícími vektory. Tato faktorizace se označuje jako spektrální rozklad neboli eigendecomposition.

Maticové exponenciální údaje

Exponenciální matici lze také definovat v přesné analogii k exponenciální funkci. Exponenciální matici $A$ lze vyjádřit jako

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

To je důležité, protože vývoj kvantového mechanického času je popsán jednotkovou maticí ve tvaru $e^{iB}$ pro Hermitskou matici $B$. Z tohoto důvodu je provádění maticových exponenciálních hodnot základní součástí kvantových výpočtů, a proto Q# nabízí vnitřní rutiny pro popis těchto operací. V praxi existuje mnoho způsobů, jak vypočítat exponenciální matici v klasickém počítači, a obecně numerické aproximování takové exponenciální hodnoty je spojeno s nebezpečím. Viz Cleve Moler a Charles Van Loan. &Quot; Devatenáct pochybných způsobů výpočtu exponenciální matice&Quot; SIAM review 20.4 (1978): 801-836 for more information about the challenges involved.

Nejjednodušší způsob, jak zjistit, jak vypočítat exponenciální hodnotu matice, je prostřednictvím vlastních hodnot a vlastních vektorů dané matice. Konkrétně výše popsaný spektrální teorém říká, že pro každou Poumitskou nebo unitární matici A existuje unitární matice $U$ a diagonální matice $D$ tak, že $A=U^\dagger D U$.$$ Vzhledem k vlastnostem unitarity, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ a podobně pro všechny mocniny $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Pokud se toto nahradí definicí operátoru exponenciálního operátoru:

$$ e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2!}+\cdots\right)U= U^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots&Amp; 0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots&Amp; 0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Jinými slovy, pokud transformujete nagenbasis matice $A$, výpočet exponenciální matice je ekvivalentem výpočtu běžného exponenciálního čísla vlastních hodnot matice. Vzhledem k tomu, že mnoho operací v kvantových výpočtech zahrnuje provádění maticových exponenciálních hodnot, objevuje se tento trik transformace na řadu vlastních vlastností matice za účelem zjednodušení provádění exponenciálních operátorů. Je základem mnoha kvantových algoritmů, jako jsou metody kvantové simulace ve stylu Trotter-Suzuki, které jsou popsány dále v této příručce.

Další užitečná vlastnost platí pro involutorické matice. Involutorní matice $B$ je unitární i poustevná, tedy $B=B^{-1}=B^B^\dagger$. Involutorní matice je čtvercová matice rovna své vlastní inverzní $matici B^2=\mathbf{1}$. Použitím této vlastnosti na výše uvedené rozšíření exponenciální matice, seskupením $\mathbf{1}$$a B$ termíny a použitím Maclaurinovy věty na funkce cosinu a sinus, identita

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

pro libovolnou reálnou hodnotu $x$. Tento trik je zvláště užitečný, protože umožňuje uvažovat o akcích, které mají exponenciální maticové exponenciální hodnoty, a to i v případě, že je dimenze $B$ exponenciálně velká, pro zvláštní případ, kdy $B$ je involutorní.

Další kroky