Práce s vektory a maticemi v kvantových výpočtech

  • Článek

Znalost vektorů a matic je nezbytná pro pochopení kvantových výpočtů. Článek Lineární algebra pro kvantové výpočty poskytuje stručné osvěžení a čtenářům, kteří se chtějí ponořit hlouběji, doporučujeme přečíst si standardní odkazy na lineární algebru, jako je Strang, G. (1993). Úvod do lineární algebry (Díl 3) Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press nebo online odkaz, jako je lineární algebra.

Vektory

Vektor sloupce (nebo jednoduše vektor) $v$ dimenze (nebo velikosti) $n$ je kolekce n$ komplexních $čísel $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ uspořádaných jako sloupec:

$$v=\begin{bmatrix}\\ v_1 v_2\\ \vdots\\ v_n\end{bmatrix}$$

Norma vektoru v je definována jako $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$.$$ Vektor se označuje jako jednotková norma (případně se nazývá vektor jednotek), pokud je $jeho normou 1$. Adjoint vektoru$v$ je označen v$^\dagger$ a je definován jako následující vektor řádku, kde $*$ označuje komplexní konjugát,

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

Všimněte si, že existuje rozdíl mezi vektorem $sloupce v$ a vektorem $řádku v^\dagger$.

Vnitřní produkt

Dva vektory mohou být násobeny společně prostřednictvím vnitřního součinu, označovaného také jako tečkovaný součin nebo skalární součin. Jak název napovídá, výsledkem vnitřního součinu dvou vektorů je skalární. Vnitřní součin poskytuje projekci jednoho vektoru na jiný a je neocenitelný při popisu způsobu vyjádření jednoho vektoru jako součtu jiných jednodušších vektorů. Vnitřní součin mezi dvěma vektory $sloupců u=(u_1 , u_2 , \ldots , u_n)$ a $v=(v_1 , v_2 , \ldots , v_n)$, označené $\left\langle u, v\right\rangle$ je definován jako

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^{*} v_1 + \cdots + _n^{*} v_n.\\\begin{bmatrix} $$

Tento zápis také umožňuje zapsat normu vektoru $v$ jako $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Vektor lze vynásobit číslem $c$ a vytvořit tak nový vektor, jehož položky jsou vynásobeny $c$. Můžete také přidat dva vektory $u$ a v$ a $vytvořit nový vektor, jehož položky jsou součtem položek $u$ a $v$. Jedná se o následující operace:

$$\mathrm{Pokud u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{a}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},~\mathrm{ pak}~ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}.\\\\=\begin{bmatrix}}~ $$

Matice o velikosti $m \times n$ je kolekce mn$ komplexních $čísel uspořádaných do $m$ řádků a $n$ sloupců, jak je znázorněno níže:

$M =\begin{bmatrix} M_{11}~~{ M_{12}~~~~\cdots M_{1n}\\ M_{~~{21} M_{\cdots{22}~~~~ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2 M_{m2.}~~\cdots~~}\\\end{bmatrix}$

Všimněte si, že vektor dimenze $n$ je jednoduše matice velikosti $n \times 1$. Stejně jako u vektorů lze matici vynásobit číslem $c$ a získat tak novou matici, kde se každá položka vynásobí znakem $c$, a dvěma maticemi stejné velikosti lze vytvořit novou matici, jejíž položky jsou součtem příslušných položek dvou matic.

Násobení matic

Můžete také vynásobit dvě matice $M$ dimenze $m\times n$ a $N$ dimenze $n \times p$ , abyste získali novou matici $P$ dimenze $m \times p$ následujícím způsobem:

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix}{{11}~~ M_ M_~~\cdots{12}~~ M_{1n}\\ M_{{21}~~ M_{22}{~~~~\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1~~} M_{m2~~\cdots}~~ M_ N_}\end{bmatrix}~~{11}\begin{bmatrix}{{{12}\cdots~~~~ N_ N_{1p}\\ N_{21}{~~ N_~~\cdots~~{22} N_{2p\ddots\\}\\ N_{n1~~} N_{n2~~}\cdots~~ N_{np\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}} P_ P_{{11}~~{12}~~\cdots~~{P_1p}\\ P_~~{{21} P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

kde položky $P$ jsou $P_{ik}\sum=_j M_{ij}N_{jk.}$ Například položka $P_{11}$ je vnitřní součin prvního řádku $M$ s prvním sloupcem $N$. Všimněte si, že vzhledem k tomu, že vektor je jednoduše speciální případ matice, tato definice se vztahuje na násobení vektoru matice.

Všechny matice, které vezmeme v úvahu, budou buď čtvercové, kde je počet řádků a sloupců roven, nebo vektory, které odpovídají pouze $1$ sloupci. Jednou speciální čtvercovou maticí je matice identit označená $\mathbb{\mathbb{I}$, která má všechny její diagonální prvky rovno $1$ a zbývající prvky se rovnají $0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0\cdots~~~~0\\ 0 ~~ 1~~~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

Pro čtvercovou matici $A$ je matice $B$její inverzní , pokud $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Inverzní hodnota matice nemusí existovat, ale pokud existuje, je jedinečná a označíme ji $A^{-1}$.

Pro každou matici $M je adjoint nebo konjugovaná transpozice $M$ matice $N$, která $N_{ij}= M_{ji}^*$$. Přídavek $M$ se obvykle označuje $M^\dagger$. Matice $U$ je unitární, pokud $UU^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ nebo ekvivalentní U$^={{-1} U^.\dagger$ Jednou z důležitých vlastností unitárních matic je, že zachovávají normu vektoru. K tomu dochází proto, že

$\langlev,v^ v v^\dagger U^ U v{-1}= v^\dagger U^\dagger U v U v=\langle, U v.\rangle=\dagger\rangle=$

Matice $M$ se říká, že je poustevníkem , pokud $M=M^\dagger$.

Produkt Tensor

Další důležitou operací je produkt Kronecker, označovaný také jako přímý součin matice nebo tenzorový produkt. Všimněte si, že produkt Kronecker se liší od násobení matice, což je zcela odlišná operace. V teorii kvantových výpočtů se tensorový produkt běžně používá k označení produktu Kronecker.

Zvažte dva vektory $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ a $u =\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}$. Jejich tenzorový součin je označen jako $v \otimes u$ a výsledkem je bloková matice.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d \\ e\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}= a c \\ a d a \\ e \\ b c b \\ b d be \\\end{bmatrix}$$

Všimněte si, že tenzorový součin je operace na dvou maticích nebo vektorech libovolné velikosti. Tenzorový součin dvou matic $M$ velikosti $m\times n$ a $N$ velikosti $p \times q$ je větší matice $P=M\otimes N$ velikosti $mp \times nq$ a získá se z $M$ a $N$ následujícím způsobem:

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~~~\cdots{11}M_ M_{1n\\\ddots\\} M_{m1}~~~~\cdots M_{mn\begin{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}} N_~~~~{11}\cdots{ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix}{{11}\begin{bmatrix} M_ N_~~{~~{11}\cdots N_{1q\ddots\\}\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq\end{bmatrix}~~}\cdots~~ M_{1n\begin{bmatrix}} N_~~\cdots{11}~~ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots~~~~} N_{pq}\ddots\\\end{bmatrix}\\ M_{m1}\begin{bmatrix} N_{11}\cdots{~~~~ N_{1q\ddots\\}\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq~~\cdots}\end{bmatrix}~~ M_{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq.}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

To je lépe demonstrováno na příkladu: $$\begin{bmatrix} a\ b \\ c\ d\otimes\begin{bmatrix}\end{bmatrix}e\ f g\ f\\ g\\\=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}h \end{bmatrix} b\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix} $$

Poslední užitečnou notační konvencí kolem tenzorových součinů je, že pro libovolný vektor $v$ nebo matici $M$, $v^{\otimes n}$ nebo $M^{\otimes n}$ je krátká ruka pro $n-fold$ opakovaný tenzorový součin. Příklad:

\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1=\begin{bmatrix}} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^{\otimes 2=\begin{bmatrix}} 1 \\ -1 \\-1 \\1 \end{bmatrix}, \\&\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ amp&; 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1\begin{bmatrix}}= 0& 1 \\ amp&; 0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ amp&; 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 1 \\ 0 & 0& 1& 0 \\ 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\end{bmatrix}. \end{align}

Další kroky