Dynamika dobyQuantum Dynamics

Mechanismus plnění do značné míry je z velké části studia dynamiky provozu, který se snaží pochopit, jak počáteční stav za běhu $ \ket{\psi (0)} $ se v průběhu času liší (Další informace o zápisu Dirac najdete v koncepčních dokumentech s výpočetním prostředím).Quantum mechanics is largely the study of quantum dynamics, which seeks to understand how an initial quantum state $\ket{\psi(0)}$ varies over time (see the conceptual docs on quantum computing for more info on Dirac notation). Konkrétně za předpokladu, že je v tomto počátečním podmíněném stavu, je čas vývoje a specifikace dynamického systému, který je ve stavu "\ket{\psi (t)} $".Specifically, given this initial condition a quantum state, an evolution time and a specification of the quantum dynamical system, a quantum state $\ket{\psi(t)}$ is sought. Než začnete s vysvětlem životnosti Dynamics, je vhodné provést krok zpět a zamyslete se na klasických dynamikách, protože poskytuje přehled o tom, jak se ve skutečnosti nejedná o nezávisle na klasických případech.Before proceeding to explain quantum dynamics, it is useful to take a step back and think about classical dynamics since it provides insights into how quantum mechanics is really not that different from classical dynamics.

V klasickém dynamicsovém řešení ví, že se poloha částice v newtonech snaží rozvinout podle $F (x, t) = ma = m\frac {\ DD ^ 2} {\dd t ^ 2} {x} (t) $, kde $F (x, t) $ je silo, $m $ je to zrychlení a $a.In classical dynamics, we know from Newton's second law of motion that the position of a particle evolves according to $F(x,t)=ma=m\frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$, where $F(x,t)$ is the force,$m$ is the mass and $a$ is the acceleration. Poté, s ohledem na počáteční pozici $x (0) $, doba vývoje $t $ a popis sil, které působí na částice, můžeme najít $x (t) $ vyřešením rozdílové rovnice uvedené v rovnicích newtonů pro $x (t) $.Then, given an initial position $x(0)$, evolution time $t$, and description of the forces that act on the particle, we can then find $x(t)$ by solving the differential equation given by Newton's equations for $x(t)$. Určení síly tímto způsobem je trochu bolesti.Specifying the forces in this way is a bit of a pain. Proto jsme často vyjádřili síly z pohledu potenciální energie systému, což nám dává $-\partial_x V (x, t) = m \frac{\dd ^ 2} {\dd t ^ 2} {x} (t) $.So we often express the forces in terms of the potential energy of the system, which gives us $-\partial_x V(x,t) = m \frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$. Proto pro částice je dynamika systému určena pouze potenciální energetickou funkcí, hmotností částic a časem vývoje.Thus, for a particle, the dynamics of the system are specified only by the potential energy function, the particle mass, and the evolution time.

Pro klasický dynamiku se často zavádí širší jazyk, který překračuje $F = mA $.A broader language is often introduced for classical dynamics that goes beyond $F=ma$. Jedna formulace, která je užitečná hlavně v přípravné mechanismy, je Hamiltonian mechanikou.One formulation, which is particularly useful in quantum mechanics, is Hamiltonian mechanics. V Hamiltonian mechanice představuje celková energie systému a (generalizované) pozice a chvilka všechny informace potřebné k popisu pohybu libovolného klasického objektu.In Hamiltonian mechanics, the total energy of a system and the (generalized) positions and momenta give all the information needed to describe the motion of an arbitrary classical object. Konkrétně $f (x, p, t) $ být některé funkce generalizované pozice $x $ a moment-$p $ systému a let $H (x, p, t) $ být funkcí Hamiltonian.Specifically, let $f(x,p,t)$ be some function of the generalized positions $x$ and momenta $p$ of a system and let $H(x,p,t)$ be the Hamiltonian function. Například pokud budeme pořizovat $f (x, p, t) = x (t) $ a $H (x, p, t) = p ^ 2 (t)/2m-V (x, t) $, pak by se vám obnovilo i výše uvedený případ Newtonian Dynamics.For example, if we take $f(x,p,t)= x(t)$ and $H(x,p,t)=p^2(t)/2m - V(x,t)$, then we would recover the above case of Newtonian dynamics. V obecném případě jsme \begin{align} \frac{d}{DT} f & = \partial_t f-(\partial_x H\partial_p f + \partial_p H\partial_x f)\\ & \defeq \partial_t f + \{f, H\}.In generality, we then have that \begin{align} \frac{d}{dt} f &= \partial_t f- (\partial_x H\partial_p f + \partial_p H\partial_x f)\\ &\defeq \partial_t f + \{f,H\}. \end{align} tady $\{f, H\} $ se nazývá Poissonova závorka a v klasickém dynamikě se zobrazí ubiquitously, protože centrální role, kterou hraje při definování dynamiky.\end{align} Here $\{f,H\}$ is called the Poisson bracket and appears ubiquitously in classical dynamics because of the central role it plays in defining dynamics.

V aplikaci Dynamics se dá považovat za použití přesně stejného jazyka.Quantum dynamics can be described using exactly the same language. Hamiltonian nebo celková spotřeba energie zcela specifikuje dynamiku všech uzavřených systémů na konci.The Hamiltonian, or total energy, completely specifies the dynamics of any closed quantum system. Existují však některé zásadní rozdíly mezi dvěma teoriey.There are, however, some substantial differences between the two theories. V klasických automechanice $x $ a $p $ jsou jenom čísla, zatímco v něm neexistují.In classical mechanics $x$ and $p$ are just numbers, whereas in quantum mechanics they are not. Ve skutečnosti neexistují ani do dojíždění: $XP \Ne px $.Indeed, they do not even commute: $xp \ne px$.

Správný matematický koncept, který popisuje tyto objekty, které nepatří do nedoručení, je operátor, který v případech, kdy $x $ a $p $, může převzít pouze diskrétní sadu hodnot, která se shoduje s konceptem matice.The right mathematical concept to describe these non-commuting objects is an operator, which in cases where $x$ and $p$ can only take a discrete set of values coincides with the concept of a matrix. Proto předpokládáme, že náš systém pro navýšení je konečný, takže je možné ho popsat pomocí vektorů a matic.Thus for simplicity, we will assume that our quantum system is finite so that it can be described using vectors and matrices. Dále vyžadujeme, aby se tyto matrice Hermitian (to znamená, že sdružená transpozice matice je shodná s původní maticí).We further require that these matrices be Hermitian (meaning that the conjugate transpose of the matrix is the same as the original matrix). To zaručuje, že eigenvalues matice jsou reálné; podmínka, kterou zavádíme, aby se zajistilo, že při měření množství, jako je třeba pozice, nezískáme imaginární číslo.This guarantees that the eigenvalues of the matrices are real-valued; a condition which we impose to ensure that when we measure a quantity like position that we don't get back out an imaginary number.

Stejně jako analogie pozice a potenciál v Hamiltonian musí být nahrazeni operátory, funkce musí být podobně nahrazena operátorem.Just as the analogues of position and momentum in quantum mechanics need to be replaced by operators, the Hamiltonian function needs to be similarly replaced by an operator. Například pro částice v volném prostoru máme tyto $H (x, p) = p ^ 2/2 min $, zatímco v poli doby pří\hat{H}i Hamiltonian operator $ \hat{H} $ je $ = \hat{p} ^ 2/2 min $, kde $ \hat{p} $ je operátor potenciál.For example, for a particle in free space we have that $H(x,p) = p^2/2m$ whereas in quantum mechanics the Hamiltonian operator $\hat{H}$ is $\hat{H}= \hat{p}^2/2m$ where $\hat{p}$ is the momentum operator. Z této perspektivy se v případě dynamiky z klasického navýšení na každý z nich vyžaduje nahrazení proměnných používaných v běžném Dynamics with Operators.From this perspective, going from classical to quantum dynamics merely involves replacing the variables used in ordinary dynamics with operators. Jakmile jsme sestavili Hamiltonian operátor převedením obyčejného klasického Hamiltonianu na jazyk, můžeme vyjádřit dynamiku libovolného množství všech provozních podmínek (tj. "mechanického" operátoru) $ \hat{f} (t) $ Via \begin{ align} \frac{d}{DT} \hat{f} = \partial_t \hat{f} + [\hat{f}, \hat{H}], \end{align} kde $ [f, H] = fH-HF $ se označuje jako commutator.Once we have constructed the Hamiltonian operator by translating the ordinary classical Hamiltonian over to quantum language, we can express the dynamics of an arbitrary quantum mechanical quantity (i.e. quantum mechanical operator) $\hat{f}(t)$ via \begin{align} \frac{d}{dt} \hat{f} = \partial_t \hat{f} + [\hat{f},\hat{H}], \end{align} where $[f,H] = fH -Hf$ is known as the commutator. Tento výraz je přesně stejný jako klasický výraz uvedený výše s rozdílem, že Poissonova závorka $\{f, H\} $ se nahrazuje commutator mezi $f $ a $H $.This expression is exactly like the classical expression given above with the difference that the Poisson bracket $\{f,H\}$ being replaced with the commutator between $f$ and $H$. Tento proces přebírání klasického Hamiltonianu a jeho použití k vyhledání Hamiltoniany na více procesorů je známou v žargonuech jako kanonické kvantizační.This process of taking a classical Hamiltonian and using it to find a quantum Hamiltonian is known in quantum jargon as canonical quantization.

Jaké operátory $f $ jste nejvíc zajímáme?What operators $f$ are we most interested in? Odpověď na tuto otázku závisí na problému, který chceme vyřešit.The answer to this depends on the problem that we want to solve. Nejužitečnější množství, které je třeba najít, je operátor stavu pro stav, který je popsaný v předchozí Koncepční dokumentaci, lze použít k extrakci všeho, co bychom chtěli vědět o dynamikě.Perhaps the most useful quantity to find is the quantum state operator, which as discussed in the earlier conceptual documentation can be used to extract everything that we would like learn about the dynamics. Po provedení tohoto postupu (a zjednodušení výsledku do případu, kde má čistě stav) se najde Schrödinger rovnice pro stav s jednou z \begin{align} i\partial_t \ket{\psi (t)} = \hat{H} (t) \ket{\psi (t)}.After doing this (and simplifying the result to the case where one has a pure state), the Schrödinger equation for the quantum state is found \begin{align} i\partial_t \ket{\psi(t)} = \hat{H}(t) \ket{\psi(t)}. \end{align}\end{align}

Tato rovnice, i když je to méně intuitivní než výše uvedená, představuje pravděpodobně nejjednodušší výraz pro porozumění tomu, jak simulovat dynamiku nedostatku do více než jednoho nebo klasického počítače.This equation, though perhaps less intuitive than that given above, yields perhaps the simplest expression for understanding how to simulate quantum dynamics on either a quantum or classical computer. Důvodem je to, že řešení rozdílové rovnice lze vyjádřit v následujícím formuláři (pro případ, kdy je Hamiltonian konstanta v $t $) \begin{align} \ket{\psi (t)} = e ^ {-iHt} \ket{\psi (0)}.This is because the solution to the differential equation can be expressed in the following form (for the case where the Hamiltonian is constant in $t$) \begin{align} \ket{\psi(t)} = e^{-iHt}\ket{\psi(0)}. \end{align} zde $e ^ {iHt} $ je jednotná matice.\end{align} Here $e^{-iHt}$ is a unitary matrix. To znamená, že existuje okruh, který může být navržený tak, aby se mohl provést, protože počítače můžou přesně blížit jakékoli jednotkové matrice.This means that there exists a quantum circuit that can be designed to perform it because quantum computers can closely approximate any unitary matrix. Tato operace hledání okruhu termínu pro implementaci operátoru vývoje času na základě počtu procesorů $e ^ {-iHt} $ je to, co se často říká simulace období, nebo zejména Simulace dynamických procesorů.This act of finding a quantum circuit to implement the quantum time evolution operator $e^{-iHt}$ is what is often called quantum simulation, or in particular dynamical quantum simulation.