Quantum DynamicsQuantum Dynamics

Die Quantum-Mechanik ist größtenteils die Studie von Quantum Dynamics, mit der erläutert wird, wie ein ursprünglicher Quantum-Zustand $ \ket{\psi (0)} $ im Laufe der Zeit variiert (Weitere Informationen zur Dirac-Notation finden Sie in den konzeptionellen Dokumentation zu Quantum Computing).Quantum mechanics is largely the study of quantum dynamics, which seeks to understand how an initial quantum state $\ket{\psi(0)}$ varies over time (see the conceptual docs on quantum computing for more info on Dirac notation). Insbesondere bei dieser anfänglichen Bedingung wird ein Quantum-Status, eine Evolution-Zeit und eine Spezifikation des quantalen dynamischen Systems, der Quantum-Status $ \ket{\psi (t)} $ gesucht.Specifically, given this initial condition a quantum state, an evolution time and a specification of the quantum dynamical system, a quantum state $\ket{\psi(t)}$ is sought. Bevor wir mit der Erläuterung von Quantum Dynamics fortfahren, empfiehlt es sich, einen Schritt zurück zu machen und sich über klassische Dynamics Gedanken zu machen, da er Einblicke in die Möglichkeiten von Quantum-Mechanismen bietet, die sich von klassischen Dynamics unterscheiden.Before proceeding to explain quantum dynamics, it is useful to take a step back and think about classical dynamics since it provides insights into how quantum mechanics is really not that different from classical dynamics.

In klassischer Dynamics: Wir wissen aus dem zweiten Gesetz von Newton, dass die Position eines Partikels gemäß $F (x, t) = MA = m\frac {\ DD ^ 2} {\dd t ^ 2} {x} (t) $ weiterentwickelt wird, wobei $F (x, t) $ die Kraft ist, $m $ die Beschleunigung ist und $a $ die Beschleunigung ist.In classical dynamics, we know from Newton's second law of motion that the position of a particle evolves according to $F(x,t)=ma=m\frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$, where $F(x,t)$ is the force,$m$ is the mass and $a$ is the acceleration. Bei einer anfänglichen Position $x (0) $, der Evolution time $t $ und der Beschreibung der Erzwingung der Kräfte, die auf das Partikel reagieren, können wir dann $x (t) $ suchen, indem wir die differenzielle Gleichung lösen, die von Newton-Gleichungen für $x (t) $ angegeben wird.Then, given an initial position $x(0)$, evolution time $t$, and description of the forces that act on the particle, we can then find $x(t)$ by solving the differential equation given by Newton's equations for $x(t)$. Das Angeben der Kräfte auf diese Weise ist ein wenig.Specifying the forces in this way is a bit of a pain. Wir werden also häufig die Erzwingung in Bezug auf die potenzielle Energie des Systems Ausdrücken, die US $-\ partial_x V (x, t) = m \bruchteil {\dd ^ 2} {\dd t ^ 2} {x} (t) $ ergibt.So we often express the forces in terms of the potential energy of the system, which gives us $-\partial_x V(x,t) = m \frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$. Daher wird die Dynamik des Systems bei einem Partikel nur von der potenziellen Energie Funktion, der Partikelmasse und der Entwicklungszeit angegeben.Thus, for a particle, the dynamics of the system are specified only by the potential energy function, the particle mass, and the evolution time.

Eine umfassendere Sprache wird häufig für klassische Dynamics eingeführt, die über $F = MA $ hinausgeht.A broader language is often introduced for classical dynamics that goes beyond $F=ma$. Eine Formulierung, die besonders nützlich in der Quantum-Mechanik ist, ist hamiltona Mechanics.One formulation, which is particularly useful in quantum mechanics, is Hamiltonian mechanics. In hamiltonan-Mechanismen enthalten die Gesamtenergie eines Systems und die (verallgemeinerten) Positionen und momenta alle Informationen, die zum Beschreiben der Bewegung eines beliebigen klassischen Objekts benötigt werden.In Hamiltonian mechanics, the total energy of a system and the (generalized) positions and momenta give all the information needed to describe the motion of an arbitrary classical object. Lassen Sie $f (x, p, t) $ eine Funktion der generalisierten Positionen $x $ und momenta $p $ eines Systems, und lassen Sie $H (x, p, t) $ die hamiltonan-Funktion sein.Specifically, let $f(x,p,t)$ be some function of the generalized positions $x$ and momenta $p$ of a system and let $H(x,p,t)$ be the Hamiltonian function. Wenn wir z. b. $f (x, p, t) = x (t) $ und $H (x, p, t) = p ^ 2 (t)/2M-V (x, t) $ nehmen, würden wir den obigen Fall von newtonan Dynamics wiederherstellen.For example, if we take $f(x,p,t)= x(t)$ and $H(x,p,t)=p^2(t)/2m - V(x,t)$, then we would recover the above case of Newtonian dynamics. In der Generalität haben wir diese \begin{align} \frac{d}{dt} f & = \ partial_t f-(\ partial_x H \ partial_p f + \ partial_p H \ partial_x f)\\ & \besiegq \ partial_t f + \{f, H\}.In generality, we then have that \begin{align} \frac{d}{dt} f &= \partial_t f- (\partial_x H\partial_p f + \partial_p H\partial_x f)\\ &\defeq \partial_t f + \{f,H\}. \end{align} hier $\{f, H\} $ wird als Poisson-Klammer bezeichnet und ist aufgrund der zentralen Rolle, die beim Definieren von Dynamics spielt, in klassischer Dynamics allgegenwärtig.\end{align} Here $\{f,H\}$ is called the Poisson bracket and appears ubiquitously in classical dynamics because of the central role it plays in defining dynamics.

Quantum Dynamics kann mit exakt derselben Sprache beschrieben werden.Quantum dynamics can be described using exactly the same language. Die hamiltonan oder die gesamte Energie gibt die Dynamics eines beliebigen geschlossenen Quantum-Systems vollständig an.The Hamiltonian, or total energy, completely specifies the dynamics of any closed quantum system. Es gibt jedoch einige wesentliche Unterschiede zwischen den beiden Theorien.There are, however, some substantial differences between the two theories. In klassischen Mechanismen $x $ und $p $ nur Zahlen, wohingegen Sie in Quantum-Mechanismen nicht.In classical mechanics $x$ and $p$ are just numbers, whereas in quantum mechanics they are not. Tatsächlich ist dies nicht der Fall: $XP \nE px $.Indeed, they do not even commute: $xp \ne px$.

Das richtige mathematische Konzept zum Beschreiben dieser Objekte, die keine Objekte sind, ist ein Operator, der in Fällen, in denen $x $ und $p $ nur einen diskreten Satz von Werten annehmen kann, mit dem Konzept einer Matrix übereinstimmt.The right mathematical concept to describe these non-commuting objects is an operator, which in cases where $x$ and $p$ can only take a discrete set of values coincides with the concept of a matrix. Aus Gründen der Einfachheit gehen wir davon aus, dass unser Quantum-System so begrenzt ist, dass es mit Vektoren und Matrizenbeschrieben werden kann.Thus for simplicity, we will assume that our quantum system is finite so that it can be described using vectors and matrices. Wir verlangen, dass diese Matrizen hermitian sind (was bedeutet, dass die konjugierte, die die Matrix durchläuft, mit der ursprünglichen Matrix identisch ist).We further require that these matrices be Hermitian (meaning that the conjugate transpose of the matrix is the same as the original matrix). Dadurch wird sichergestellt, dass die Eigenwerte der Matrizen Real-wertig sind. eine Bedingung, die wir erzwingen, um sicherzustellen, dass eine Menge wie die Position gemessen wird, die wir nicht zurückerhalten.This guarantees that the eigenvalues of the matrices are real-valued; a condition which we impose to ensure that when we measure a quantity like position that we don't get back out an imaginary number.

Ebenso wie die analog zu Position und Schwung in der Quantum-Mechanik durch Operatoren ersetzt werden müssen, muss die hamiltonan-Funktion durch einen Operator ersetzt werden.Just as the analogues of position and momentum in quantum mechanics need to be replaced by operators, the Hamiltonian function needs to be similarly replaced by an operator. Bei einem Partikel im freien Speicherplatz haben wir z. b. $H (x, p) = p ^ 2/2M $, während in der Quantum-Mechanik der hamiltonan-Operator $ \hat{h} $ den Wert $ \hat{h} = \hat{p} ^ 2/2M $ hat.For example, for a particle in free space we have that $H(x,p) = p^2/2m$ whereas in quantum mechanics the Hamiltonian operator $\hat{H}$ is $\hat{H}= \hat{p}^2/2m$ where $\hat{p}$ is the momentum operator. Aus dieser Perspektive besteht der Wechsel von "klassisch" zu "Quantum Dynamics" lediglich darin, die in normaler Dynamics verwendeten Variablen durch Operatoren zu ersetzen.From this perspective, going from classical to quantum dynamics merely involves replacing the variables used in ordinary dynamics with operators. Nachdem wir den hamiltonan-Operator durch Übersetzen der normalen klassischen hamiltona in die Quantum-Sprache erstellt haben, können wir die Dynamics einer beliebigen Quantum-Menge (d. h. eines Quantum-mechanischen Operators) $ \hat{f} (t) $ Via \begin{ align} \frac{d}{dt} \hat{fi} = \ partial_t \hat{Fi} + [\hat{fi}, \hat{h}], \end{align}, wobei $ [f, H] = fH-HF $ als der komorname bezeichnet wird.Once we have constructed the Hamiltonian operator by translating the ordinary classical Hamiltonian over to quantum language, we can express the dynamics of an arbitrary quantum mechanical quantity (i.e. quantum mechanical operator) $\hat{f}(t)$ via \begin{align} \frac{d}{dt} \hat{f} = \partial_t \hat{f} + [\hat{f},\hat{H}], \end{align} where $[f,H] = fH -Hf$ is known as the commutator. Dieser Ausdruck ähnelt dem klassischen Ausdruck, der oben angegeben wurde. der Unterschied besteht darin, dass die Poisson-Klammer $\{f, H\} $ durch den komortator zwischen $f $ und $H $ ersetzt wird.This expression is exactly like the classical expression given above with the difference that the Poisson bracket $\{f,H\}$ being replaced with the commutator between $f$ and $H$. Dieses Verfahren, mit dem eine klassische hamiltona und die Verwendung zum Suchen eines Quantums hamiltonan verwendet werden, wird im Quantum-Jargon als kanonische Quantisierung bezeichnet.This process of taking a classical Hamiltonian and using it to find a quantum Hamiltonian is known in quantum jargon as canonical quantization.

An welchen Operatoren $f $ am meisten interessiert?What operators $f$ are we most interested in? Die Antwort darauf hängt von dem Problem ab, das wir lösen möchten.The answer to this depends on the problem that we want to solve. Die vielleicht nützlichste Menge, die Sie finden, ist der Quantum State-Operator, der in der vorherigen konzeptionellen Dokumentation verwendet werden kann, um alles zu extrahieren, was wir über die Dynamics erfahren würden.Perhaps the most useful quantity to find is the quantum state operator, which as discussed in the earlier conceptual documentation can be used to extract everything that we would like learn about the dynamics. Wenn Sie dies durchgeführt haben (und das Ergebnis so vereinfachen, dass es einen reinen Zustand hat), wird die Schrödinger-Gleichung für den Quantum-Status "\begin{align} i \ partial_t \ket{\psi (t)} = \hat{h} (t) \ket{\psi (t)}" gefunden.After doing this (and simplifying the result to the case where one has a pure state), the Schrödinger equation for the quantum state is found \begin{align} i\partial_t \ket{\psi(t)} = \hat{H}(t) \ket{\psi(t)}. \end{align}\end{align}

Diese Gleichung, aber vielleicht weniger intuitiv als die oben genannten, liefert vielleicht den einfachsten Ausdruck, um zu verstehen, wie die Quantum-Dynamics auf einem Quantum-oder klassischen Computer simuliert werden kann.This equation, though perhaps less intuitive than that given above, yields perhaps the simplest expression for understanding how to simulate quantum dynamics on either a quantum or classical computer. Dies liegt daran, dass die Lösung der differenziellen Gleichung in der folgenden Form ausgedrückt werden kann (für den Fall, dass hamiltonan konstant ist in $t $) \begin{align} \ket{\psi (t)} = e ^ {-IHT} \ket{\psi (0)}.This is because the solution to the differential equation can be expressed in the following form (for the case where the Hamiltonian is constant in $t$) \begin{align} \ket{\psi(t)} = e^{-iHt}\ket{\psi(0)}. \end{align} hier $e ^ {-IHT} $ eine einheitliche Matrix ist.\end{align} Here $e^{-iHt}$ is a unitary matrix. Dies bedeutet, dass eine Quantum-Verbindung vorhanden ist, die für die Ausführung entworfen werden kann, da Quantum-Computer eine genaue Näherung für jede einheitliche Matrix erreichen können.This means that there exists a quantum circuit that can be designed to perform it because quantum computers can closely approximate any unitary matrix. Das Auffinden einer Quantum-Verbindung, um den Quantum Time Evolution-Operator $e ^ {-IHT} $ zu implementieren, ist das, was häufig als Quantum-Simulation bezeichnet wird, oder in einer speziellen Dynamical-Quantum-Simulation.This act of finding a quantum circuit to implement the quantum time evolution operator $e^{-iHt}$ is what is often called quantum simulation, or in particular dynamical quantum simulation.