IEEE-Gleitkommadarstellung

Microsoft C++ (MSVC) erfüllt die numerischen IEEE-Standards. Der IEEE-754-Standard beschreibt Gleitkommaformate. Gleitkommazahlen sind eine Art, reelle Zahlen in der Hardware darzustellen. Es gibt mindestens fünf interne Formate für Gleitkommazahlen, die in der Hardware darstellbar sind, auf die der MSVC-Compiler ausgerichtet ist. Der Compiler verwendet jedoch nur zwei davon. In MSVC werden die Formate mit einfacher (4 Byte) und doppelter Genauigkeit (8 Byte) verwendet. Das Format mit einfacher Genauigkeit wird mithilfe des Schlüsselworts float deklariert. Das Format mit doppelter Genauigkeit wird mithilfe des Schlüsselworts double deklariert. Der IEEE-Standard gibt auch ein Format mit halber Genauigkeit (2 Byte), ein Format mit vierfacher Genauigkeit (16 Byte) sowie ein Format mit doppelter erweiterter Genauigkeit (10 Byte) an. Letzteres wird von einigen C- und C++-Compilern als long double-Datentyp implementiert. Im MSVC-Compiler wird der Datentyp long double zwar als eigener Datentyp behandelt, der Speichertyp ist aber double zugeordnet. Berechnungen, in denen andere Formate wie z. B. das mit doppelter erweiterter Genauigkeit verwendet werden, werden sowohl systemintern als auch von der Assemblysprache unterstützt. Voraussetzung dafür ist, dass solche Berechnungen überhaupt von der Hardware unterstützt werden.

Die Werte werden wie folgt gespeichert:

Wert	Gespeichert als
Einfache Genauigkeit	Vorzeichenbit, 8-Bit-Exponent, 23-Bit-Mantisse
Doppelte Genauigkeit	Vorzeichenbit, 11-Bit-Exponent, 52-Bit-Mantisse

Bei Formaten mit einfacher und doppelter Genauigkeit enthält der Bruchteil eine angenommene führende 1. Der Bruchteil wird als Mantisse (zuweilen auch als Signifikand) bezeichnet. Die führende 1 wird nicht im Arbeitsspeicher gespeichert, daher sind die Mantissen tatsächlich 24 oder 53 Bits lang, obwohl ein Bit weniger gespeichert wird. Im Format mit doppelt erweiterter Genauigkeit wird dieses Bit tatsächlich gespeichert.

Die Exponenten werden um die Hälfte ihres möglichen Werts zur Null verschoben (Bias). Das bedeutet, dass Sie diese Verschiebung vom gespeicherten Exponenten subtrahieren müssen, um den tatsächlichen Exponenten zu erhalten. Wenn der gespeicherte Exponent kleiner ist als die Verschiebung, handelt es sich um einen negativen Exponenten.

Die Exponenten werden wie folgt zur Null verschoben:

Exponent	Verschoben um
8 Bit (einfache Genauigkeit)	127
11 Bit (doppelte Genauigkeit)	1023

Diese Exponenten sind keine Potenzen von 10, sondern von 2. Das heißt, die gespeicherten 8-Bit-Exponenten von –127 bis 127 reichen können und als eine Zahl von 0 bis 254 gespeichert werden. Der Wert 2¹²⁷ entspricht ungefähr 10³⁸. Dies ist der tatsächliche Grenzwert für Werte mit einfacher Genauigkeit.

Die Mantisse wird als binärer Bruch der Form 1.xxx... gespeichert. Dieser Bruch ist größer als oder gleich 1 und kleiner als 2. Reelle Zahlen werden immer in normalisierter Form gespeichert. Das heißt, dass die Mantisse nach links verschoben wird, sodass das höchstwertige Bit der Mantisse immer 1 ist. Da dieses Bit immer 1 ist, wird es in den Formaten mit einfacher und doppelter Genauigkeit immer angenommen (nicht gespeichert). Es wird davon ausgegangen, dass der Binärpunkt (nicht das Dezimalkomma) gleich rechts der führenden 1 steht.

Das Format der Gleitkommadarstellung lautet wie folgt:

Format	Byte 1	Byte 2	Byte 3	Byte 4	...	Byte n
Einfache Genauigkeit	SXXXXXXX	XMMMMMMM	MMMMMMMM	MMMMMMMM
Doppelte Genauigkeit	SXXXXXXX	XXXXMMMM	MMMMMMMM	MMMMMMMM	...	MMMMMMMM

S stellt das Vorzeichenbit dar. Jedes X steht für ein verschobenes Exponentenbit, und jedes M ist ein Mantissenbit. Das äußerste linke Bit wird in Formaten mit einfacher und doppelter Genauigkeit angenommen.

Für das korrekte Verschieben des Binärpunkts müssen Sie zuerst die Verschiebung des Exponenten aufheben und den Binärpunkt anschließend um die korrekte Anzahl von Bits nach rechts oder links verschieben.

Besondere Werte

Die Gleitkommaformate enthalten einige Werte, die anders als andere behandelt werden.

Zero

Null kann nicht normalisiert und damit auch nicht in der normalisierten Form eines Werts mit einfacher oder doppelter Genauigkeit dargestellt werden. 0 wird durch ein spezielles Bitmuster dargestellt, das ausschließlich Nullen enthält. Es ist auch möglich, –0 als Null mit einem Vorzeichenbit darzustellen. –0 und 0 gelten jedoch immer als gleich.

Unendlichkeiten

Die Werte „+∞“ und „−∞“ werden durch einen Exponenten nur aus Einsen und eine Mantisse nur aus Nullen dargestellt. Positive und negative Zahlen werden mithilfe des Vorzeichenbits dargestellt.

Denormalisierte Zahlen

Es ist möglich, Zahlen darzustellen, die kleiner als die kleinste Zahl in normalisierter Form sind. Diese werden als subnormale oder denormalisierte Zahlen bezeichnet. Wenn der Exponent aus Nullen besteht und die Mantisse ungleich 0 ist, wird das implizite vorangehende Bit der Mantisse als 0 angesehen, nicht als 1. Die Genauigkeit von denormalisierten Zahlen sinkt, je höher die Anzahl der führenden Nullen in der Mantisse ist.

NaN (Not a Number, keine Zahl)

Im IEEE-Gleitkommaformat lassen sich auch Werte darstellen, die keine reelle Zahl sind, z. B. „0/0“. Ein solcher Wert wird als NaN bezeichnet. Ein NaN-Wert wird durch einen Exponenten, der nur Einsen enthält, und eine Mantisse dargestellt, die ungleich Null ist. Es gibt zwei Arten von NaNs: stille NaNs (quiet NaNs, QNaNs) und signalisierende NaNs (signaling NaNs, SNaNs). Stille NaNs enthalten eine führende 1 in der Mantisse und werden innerhalb eines Ausdrucks immer weitergegeben. Sie stellen einen unbestimmten Wert dar, z. B. das Ergebnis der Division durch unendlich oder das Ergebnis der Multiplikation von unendlich mal Null. Signalisierende NaNs enthalten eine führende 0 in der Mantisse. Sie werden für Vorgänge verwendet, die nicht gültig sind, um eine Gleitkomma-Hardwareausnahme zu signalisieren.

Beispiele

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele im Format mit einfacher Genauigkeit:

• Beim Wert 2 ist das Vorzeichenbit 0. Der gespeicherte Exponent ist 128 (bzw. 1000 0000 im Binärformat), also 127 plus 1. Das gespeicherte binäre Zeichen ist (1.) 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000, die einen implizierten führenden 1 und binären Punkt aufweisen, sodass das tatsächliche Significand eins ist.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  2	1 x 21	0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000	0x40000000

• Der Wert –2. Genauso wie +2, nur dass das Vorzeichenbit festgelegt ist. Dasselbe gilt für die negativen Werte aller Gleitkommazahlen im IEEE-Format.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  -2	–1 x 21	1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000	0xC0000000

• Der Wert 4. Dieselbe Mantisse, der Exponent erhöht sich um 1. Der zu Null verschobene Wert ist 129 oder 100 0000 1 (Binärzahl).

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  4	1 x 22	0100 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000	0x40800000

• Der Wert 6. Derselbe Exponent. Die Mantisse wurde um die Hälfte vergrößert. Es ist (1.) 100 0000 ... 0000 0000, die, da es sich um einen binären Bruch handelt, 1 1/2 ist, da die Werte der Bruchziffern 1/2, 1/4, 1/8 usw. sind.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  6	1,5 x 22	0100 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000	0x40C00000

• Der Wert 1. Dieselbe Mantisse wie andere Potenzen von Zwei. Der zur Null verschobene Exponent ist um 1 kleiner als der des Werts 2 bei 127, oder 011 1111 1 im Binärformat.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  1	1 x 20	0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000	0x3F800000

• Der Wert 0,75. Der voreingenommene Exponent ist 126, 011 1111 0 in binär, und das Significand ist (1.) 100 0000 ... 0000 0000, das ist 1 1/2.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  0,75	1,5 x 2–1	0011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000	0x3F400000

• Der Wert 2,5: Genau identisch mit Zwei, außer dass das Bit, das 1/4 darstellt, in der Mantisse festgelegt wird.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  2.5	1,25 x 21	0100 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000	0x40200000

• 1/10 ist ein sich wiederholter Bruch im Binärformat. Die Mantisse ist etwas weniger als 1.6 und der verschobene Exponent sagt aus, dass 1.6 durch 16 zu teilen ist. (Es ist 011 1101 1 in der Binärdatei, die 123 in dezimal ist.) Der wahre Exponent ist 123 - 127 = -4, was bedeutet, dass der Faktor, mit dem multipliziert werden soll, 2-4 = 1/16 ist. Die gespeicherte Mantisse wird im letzten Bit aufgerundet. Dies ist ein Versuch, die nicht darstellbare Zahl so genau wie möglich darzustellen. (Der Grund, warum 1/10 und 1/100 im Binärformat nicht genau darstellbar sind, ähnelt dem Grund, aus dem 1/3 nicht genau in Dezimalform dargestellt werden kann.)

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  0,1	1,6 x 2–4	0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 1101	0x3DCCCCCD

• 0 (Null) ist ein Sonderfall. Hier wird die Formel für den minimal möglichen darstellbaren positiven Wert verwendet, der nur aus Nullen besteht.

  Wert	Formel	Binäre Darstellung	Hexadezimal
  0	1 x 2–128	0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000	0x00000000

Siehe auch

Warum Gleitkommazahlen an Genauigkeit verlieren können