Conceitos de matriz avançada na computação quântica

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Este artigo explora os conceitos de eigenvalues, eigenvectores e exponenciais. Estes conceitos formam um conjunto fundamental de ferramentas de matriz que são utilizadas para descrever e implementar algoritmos quânticos. Para obter as noções básicas de vetores e matrizes que se aplicam à computação quântica, veja Álgebra linear para computação quântica e Vetores e matrizes.

Eigenvalues e eigenvectors

Deixe $M$ ser uma matriz quadrada e $v$ ser um vetor que não é o vetor de todos os zeros (por exemplo, o vetor com todas as entradas igual a $0$).

O vetor $v$ é um eigenvector de $M$ se $Mv = cv$ para algum número $c$. O número inteiro $c$ é o eigenvalue correspondente ao eigenvector $v$. Em geral, uma matriz $M$ pode transformar um vetor em qualquer outro vetor. No entanto, um eigenvector é especial porque permanece inalterado, exceto por ser multiplicado por um número. Tenha em atenção que, se $v$ for um eigenvector com eigenvalue $c$, av $$ também é um eigenvector (para qualquer nonzero $a$) com o mesmo eigenvalue.

Por exemplo, para a matriz de identidade, cada vetor $v$ é um eigenvector com eigenvalue $1$.

Como outro exemplo, considere uma matriz$diagonal D$, que tem apenas entradas que não são zero na diagonal:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 0 \\& d_2 & 0 0 \\& 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$

Os vetores

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{e}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

são eigenvectores desta matriz com eigenvalues $d_1$, $d_2$ e $d_3$, respetivamente. Se $d_1$, $d_2$ e $d_3$ forem números distintos, estes vetores (e os respetivos múltiplos) são os únicos eigenvectores da matriz $D$. Em geral, para uma matriz diagonal, é fácil ler os eigenvalues e os eigenvectors. Os eigenvalues são todos os números que aparecem na diagonal e os respetivos eigenvectores são os vetores de unidades com uma entrada igual a $1$ e as restantes entradas iguais a $0$.

Tenha em atenção, no exemplo acima, que os eigenvectores de $D$ formam uma base para $vetores tridimensionais$. Uma base é um conjunto de vetores para que qualquer vetor possa ser escrito como uma combinação linear dos mesmos. Mais explicitamente, $v_1$, $v_2$ e $v_3$ formam uma base se qualquer vetor $v$ puder ser escrito como $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ para alguns números $a_1$, $a_2$ e $a_3$.

Na computação quântica, existem essencialmente apenas duas matrizes que encontra: Hermitiano e unitário. Lembre-se de que uma matriz hermitiana (também denominada auto-adjacente) é uma matriz quadrada complexa igual à sua própria transposição conjugada complexa, enquanto uma matriz unitária é uma matriz quadrada complexa cujo inverso é igual à sua complexa transposição conjugada.

Existe um resultado geral conhecido como teorema espectral, o que implica o seguinte: para qualquer matriz $hermitiana ou unitária M$, existe um U$ unitário $tal que $M=U^\dagger D U$ para alguma matriz $diagonal D$. Além disso, as entradas diagonais de $D$ serão as valores eigenvas de $M$ e as colunas de $U^\dagger$ serão os eigenvectors correspondentes. Esta fatorização é conhecida como decomposição espectral ou eigendecomposição.

Exponenciais de matriz

Uma matriz exponencial também pode ser definida em analogia exata à função exponencial. A matriz exponencial de uma matriz $A$ pode ser expressa como

$$ E^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

Isto é importante porque a evolução do tempo mecânico quântico é descrita por uma matriz unitária da forma $e^{iB}$ para a matriz $hermitiana B$. Por este motivo, realizar exponenciais de matriz é uma parte fundamental da computação quântica e, como tal Q# , oferece rotinas intrínsecas para descrever estas operações. Na prática, existem muitas formas de calcular uma matriz exponencial num computador clássico e, em geral, a aproximação numérica de tal exponencial está repleta de perigos. Veja Cleve Moler e Charles Van Loan. " Dezanove formas duvidosas de calcular o exponencial de uma matriz." Revisão do SIAM 20.4 (1978): 801-836 para obter mais informações sobre os desafios envolvidos.

A forma mais fácil de compreender como calcular o exponencial de uma matriz é através dos eigenvalues e dos eigenvectores dessa matriz. Especificamente, o teorema espectral abordado acima diz que para cada matriz $hermitiana ou unitária A$ existe uma matriz $unitária U$ e uma matriz $diagonal D$ de tal forma que $A=U^\dagger D U$. Devido às propriedades da unitaridade, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ e, da mesma forma, para qualquer potência $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Se alguém substituir isto pela definição de operador do operador exponencial:

$$ E^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2!}+\cdots\right)U= ^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots& 0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots& 0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Por outras palavras, se se transformar na eigenbase da matriz $A$, calcular a matriz exponencial é equivalente a calcular o exponencial comum das valores eigenóulos da matriz. Como muitas operações na computação quântica envolvem a realização de exponenciais de matriz, este truque de transformação na eigenbase de uma matriz para simplificar a execução do operador exponencial aparece frequentemente. É a base por trás de muitos algoritmos quânticos, como os métodos de simulação quântica estilo Trotter-Suzuki, abordados mais à frente neste guia.

Outra propriedade útil é guardada para matrizes involutórias. Uma matriz $involutória B$ é unitária e Hermitiana, ou seja, $B=^{-1}=B^\dagger$. Em seguida, uma matriz involutória é uma matriz quadrada igual ao seu próprio inverso, $B^2=\mathbf{1}$. Ao aplicar esta propriedade à expansão acima da matriz exponencial, agrupar os $\mathbf{1}$ termos e B $$ e aplicar o teorema de Maclaurin às funções de cosseno e seno, a identidade

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

contém para qualquer valor $real x$. Este truque é especialmente útil porque lhe permite raciocinar sobre as ações que os exponenciais de matriz têm, mesmo que a dimensão de $B$ seja exponencialmente grande, para o caso especial quando $B$ é involutório.

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