Conceitos de matriz avançadaAdvanced Matrix Concepts

Estendemos agora a nossa manipulação de Matrizes a Eigenvalues, Eigenvectors e Exponencials que formam um conjunto fundamental de ferramentas que precisamos para descrever e implementar algoritmos quânticos.We now extend our manipulation of Matrices to Eigenvalues, Eigenvectors and Exponentials which form a fundamental set of tools we need to describe and implement quantum algorithms.

Eigenvalues e EigenvectorsEigenvalues and Eigenvectors

Deixe $ M ser uma matriz quadrada e v ser um $ $ $ vetor que não é o vetor de todos os zeros (ou seja, o vetor com todas as entradas iguais a $ 0 $ ).Let $M$ be a square matrix and $v$ be a vector that is not the all zeros vector (i.e., the vector with all entries equal to $0$).

Dizemos que $ v $ é um eigenvector de $ M se $ $ Mv cv para algum número = $ c $ $ .We say $v$ is an eigenvector of $M$ if $Mv = cv$ for some number $c$. Dizemos que $ c $ é o eigenvalue correspondente ao eigenvector $ v $ .We say $c$ is the eigenvalue corresponding to the eigenvector $v$. Em geral, uma matriz $ M pode transformar um $ vetor em qualquer outro vetor, mas um eigenvector é especial porque é deixado inalterado exceto por ser multiplicado por um número.In general a matrix $M$ may transform a vector into any other vector, but an eigenvector is special because it is left unchanged except for being multiplied by a number. Note que se $ v $ é um eigenvector com eigenvalue $ $ c, então $ av é também um $ eigenvector (para qualquer não zero a $ ) com o mesmo $ eigenvalue.Note that if $v$ is an eigenvector with eigenvalue $c$, then $av$ is also an eigenvector (for any nonzero $a$) with the same eigenvalue.

Por exemplo, para a matriz de identidade, cada vetor $ v $ é um eigenvector com eigenvalue $ 1 $ .For example, for the identity matrix, every vector $v$ is an eigenvector with eigenvalue $1$.

Como outro exemplo, considere uma matriz diagonal $ D que só tem entradas $ nãozero na diagonal:As another example, consider a diagonal matrix $D$ which only has nonzero entries on the diagonal:

$$ \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ & 0 0 & d_3 \end{bmatrix} .d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$

Os vetoresThe vectors

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} and \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

são os eigenvectors desta matriz com d_1 de eigenvalues, $ $ d_2 e $ $ $ $ d_3, respectivamente.are eigenvectors of this matrix with eigenvalues $d_1$, $d_2$, and $d_3$, respectively. Se $ d_1 , d_2 , e d_3 são $ $ $ $ $ números distintos, então estes vetores (e seus múltiplos) são os únicos eigenvectors da matriz $ D $ . Em geral, para uma matriz diagonal é fácil ler os eigenvalues e os eigenvectors.If $d_1$, $d_2$, and $d_3$ are distinct numbers, then these vectors (and their multiples) are the only eigenvectors of the matrix $D$. In general, for a diagonal matrix it is easy to read off the eigenvalues and eigenvectors. Os eigenvalues são todos os números que aparecem na diagonal, e os respetivos eigenvectors são os vetores unitários com uma entrada igual a $ 1 $ e as restantes entradas iguais a $ 0 $ .The eigenvalues are all the numbers appearing on the diagonal, and their respective eigenvectors are the unit vectors with one entry equal to $1$ and the remaining entries equal to $0$.

Note no exemplo acima que os eigenvectors de $ D $ formam uma base para $ $ vetores 3-dimensional.Note in the above example that the eigenvectors of $D$ form a basis for $3$-dimensional vectors. Uma base é um conjunto de vetores de modo que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear deles.A basis is a set of vectors such that any vector can be written as a linear combination of them. Mais explicitamente, $ $ v_1, $ $ v_2, e $ v_3 $ formam uma base se qualquer vetor $ v pode ser escrito como v a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 para $ $ = $ alguns números $ a_1 , a_2 , e $ $ $ $ $ a_3.More explicitly, $v_1$, $v_2$, and $v_3$ form a basis if any vector $v$ can be written as $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ for some numbers $a_1$, $a_2$, and $a_3$.

Recorde-se que uma matriz hermitiana (também chamada de auto-adjacente) é uma matriz quadrada complexa igual à sua própria transposição conjugada complexa, enquanto uma matriz unitária é uma matriz quadrada complexa cujo inverso é igual ao seu transposto conjugado adjacente ou complexo.Recall that a Hermitian matrix (also called self-adjoint) is a complex square matrix equal to its own complex conjugate transpose, while a unitary matrix is a complex square matrix whose inverse is equal to its adjoint or complex conjugate transpose. Para as matrizes hermitianas e unitárias, que são essencialmente as únicas matrizes encontradas na computação quântica, existe um resultado geral conhecido como teorema espectral,que afirma o seguinte: Para qualquer matriz eremita ou unitária $ $ M, existe um U unitário $ tal que M $ $ = U^ D U para alguma \dagger matriz $ diagonal $ D $ . Além disso, as entradas diagonais de $ D $ serão os valores de eigenvalues de $ M $ .For Hermitian and unitary matrices, which are essentially the only matrices encountered in quantum computing, there is a general result known as the spectral theorem, which asserts the following: For any Hermitian or unitary matrix $M$, there exists a unitary $U$ such that $M=U^\dagger D U$ for some diagonal matrix $D$. Furthermore, the diagonal entries of $D$ will be the eigenvalues of $M$.

Já sabemos calcular os eigenvalues e os eigenvectors de uma matriz diagonal $ D $ . Usando este teorema sabemos que se $ v $ é um eigenvector de $ D com $ eigenvalue $ c , isto $ é, Dv cv , $ = $ então $ U^ v será um \dagger $ eigenvector de $ M com $ eigenvalue $ c $ .We already know how to compute the eigenvalues and eigenvectors of a diagonal matrix $D$. Using this theorem we know that if $v$ is an eigenvector of $D$ with eigenvalue $c$, i.e., $Dv = cv$, then $U^\dagger v$ will be an eigenvector of $M$ with eigenvalue $c$. Isto é porqueThis is because

$$M(U^ \dagger v) = U^ \dagger D U (U^ \dagger v) = U^ D \dagger (U U^ \dagger ) v = U^ D v c \dagger = U^ \dagger v.$$$$M(U^\dagger v) = U^\dagger D U (U^\dagger v) =U^\dagger D (U U^\dagger) v = U^\dagger D v = c U^\dagger v.$$

Exponencial da MatrizMatrix Exponentials

Uma matriz exponencial também pode ser definida em analogia exata à função exponencial.A matrix exponential can also be defined in exact analogy to the exponential function. A matriz exponencial de uma matriz $ A pode ser expressa $ comoThe matrix exponential of a matrix $A$ can be expressed as

$$ e^A = \boldone + A + \frac { A^2 } { 2! } + \frac { A^3 } { 3!}+\cdotse^A=\boldone + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots $$

Isto é importante porque a evolução do tempo mecânico quântico é descrita por uma matriz unitária da forma $ e^ { iB } $ para a matriz hermitiana $ B $ . Por esta razão, a realização de exponencials da matriz é uma parte fundamental da computação quântica e, como tal, Q# oferece rotinas intrínsecas para descrever estas operações.This is important because quantum mechanical time evolution is described by a unitary matrix of the form $e^{iB}$ for Hermitian matrix $B$. For this reason, performing matrix exponentials is a fundamental part of quantum computing and as such Q# offers intrinsic routines for describing these operations. Existem muitas maneiras na prática de calcular uma matriz exponencial em um computador clássico, e em geral numericamente aproximando tal exponencial está cheio de perigo.There are many ways in practice to compute a matrix exponential on a classical computer, and in general numerically approximating such an exponential is fraught with peril. Ver Cleve Moler e Charles Van Loan. "Dezanove formas duvidosas de calcular o exponencial de uma matriz." Revisão do SIAM 20.4 (1978): 801-836 para mais informações sobre os desafios envolvidos.See Cleve Moler and Charles Van Loan. "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix." SIAM review 20.4 (1978): 801-836 for more information about the challenges involved.

A maneira mais fácil de entender como calcular o exponencial de uma matriz é através dos eigenvalues e eigenvectors dessa matriz.The easiest way to understand how to compute the exponential of a matrix is through the eigenvalues and eigenvectors of that matrix. Especificamente, o teorema espectral discutido acima diz que para cada matriz hermitiana ou unitária $ A existe uma matriz $ unitária U e uma matriz $ $ diagonal $ D tal que A $ $ = U^ D U \dagger $ . Devido às propriedades da unitaridade temos que $ A^2 = U^ \dagger D^2 U $ e similarmente para qualquer potência $ p $ $ A^p = U^ \dagger D^p U $ . Se substituirmos isto na definição do operador exponencial, obtemos:Specifically, the spectral theorem discussed above says that for every Hermitian or unitary matrix $A$ there exists a unitary matrix $U$ and a diagonal matrix $D$ such that $A=U^\dagger D U$. Because of the properties of unitarity we have that $A^2 = U^\dagger D^2 U$ and similarly for any power $p$ $A^p = U^\dagger D^p U$. If we substitute this into the operator definition of the operator exponential we obtain:

$$ e^A = U^ \dagger \left \boldone (+D + \frac { D^2 } { 2! } + \cdots \right ) U = U^ \dagger \begin{bmatrix} \exp(D_ { 11 } ) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \exp(D_ { 22 } ) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \exp(D_ { NN } ) \end{bmatrix} U.$$e^A= U^\dagger \left(\boldone +D +\frac{D^2}{2!}+\cdots \right)U= U^\dagger \begin{bmatrix}\exp(D_{11}) & 0 &\cdots &0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots& 0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0&0&\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Por outras palavras, se se transformar na eigenbasis da matriz $ $ A, então a computação da matriz exponencial equivale a computação do exponencial comum dos valores eigenvalues da matriz.In other words, if you transform to the eigenbasis of the matrix $A$ then computing the matrix exponential is equivalent to computing the ordinary exponential of the eigenvalues of the matrix. Como muitas operações na computação quântica envolvem a realização de exponencials da matriz, este truque de transformar-se na eigenbasis de uma matriz para simplificar a execução exponencial do operador aparece frequentemente e é a base por trás de muitos algoritmos quânticos, como métodos de simulação quântica ao estilo Trotter-Suzuki discutidos mais tarde neste guia.As many operations in quantum computing involve performing matrix exponentials, this trick of transforming into the eigenbasis of a matrix to simplify performing the operator exponential appears frequently and is the basis behind many quantum algorithms such as Trotter–Suzuki-style quantum simulation methods discussed later in this guide.

Outra propriedade útil é se $ B $ é simultaneamente unitário e hermitiano, ou seja, $ B = B^ { -1 } = B^ \dagger $ e $ B^2 = \boldone $ .Another useful property is if $B$ is both unitary and Hermitian, i.e., $B=B^{-1}=B^\dagger$ then $B^2=\boldone$. Aplicando esta regra à expansão acima da matriz exponencial e agrupondo os $ \boldone $ termos e os termos $ B em $ conjunto, pode ver-se que por qualquer valor real $ x a $ identidadeBy applying this rule to the above expansion of the matrix exponential and by grouping the $\boldone$ and the $B$ terms together, it can be see that for any real value $x$ the identity

$$e^ { iBx } = \boldone \cos (x)+ iB\sin(x)$$$$e^{iBx}=\boldone \cos(x)+ iB\sin(x)$$

mantém.holds. Este truque é especialmente útil porque permite raciocinar sobre as ações que os exponenciales da matriz têm, mesmo que a dimensão de $ B $ seja exponencialmente grande, para o caso especial quando $ B é $ simultaneamente unitário e eremita.This trick is especially useful because it allows to reason about the actions matrix exponentials have, even if the dimension of $B$ is exponentially large, for the special case when $B$ is both unitary and Hermitian.