Notação Dirac

Artigo
04/18/2024

A notação dirac é uma linguagem concebida para se adequar às necessidades precisas de expressar estados na mecânica quântica. Os exemplos neste artigo são sugestões que podem ser utilizadas para expressar ideias quânticas de forma concisa.

Limitações da notação de vetor de colunas

Embora a notação de vetor de colunas seja comum na álgebra linear, muitas vezes é complicada na computação quântica, especialmente ao lidar com vários qubits. Por exemplo, quando define $\psi$ ser um vetor, não é explicitamente claro se $\psi$ é uma linha ou um vetor de coluna. Assim, se $\phi$ e $\psi$ forem vetores, não é igualmente claro se $\phi\psi$ está definido, porque as formas de $\phi$ e $\psi$ podem não ser claras no contexto. Para além da ambiguidade sobre as formas dos vetores, expressar até vetores simples através da notação algebraica linear pode ser complicado. Por exemplo, se quiser descrever um $estado n-qubit$ em que cada qubit assume o valor $0$, irá expressar formalmente o estado como

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Avaliar este produto de tensor é impraticável porque o vetor está num espaço exponencialmente grande. Como tal, esta notação é, de facto, a melhor descrição do estado que pode ser dada com a notação anterior.

Tipos de vetores na notação Dirac

Existem dois tipos de vetores na notação Dirac: o vetor de sutiã e o vetor de ket , assim chamado porque, quando montados, formam um travão ou um produto interno. Se $\psi$ for um vetor de coluna, pode escrevê-lo na notação Dirac como $\ket{\psi}$, em que \ $\ket{cdot}$ indica que é um vetor de coluna de unidade, por exemplo, um vetor de ket . Da mesma forma, o vetor $\pside linha ^\dagger$ é expresso como $\bra{\psi}$. Por outras palavras, $\psi^\dagger$ é obtido ao aplicar conjugação complexa em termos de entrada aos elementos da transposição de $\psi$. A notação bra-ket implica diretamente que $\braket{\psi|\psi}$ é o produto interno do vetor $\psi$ consigo mesmo, que é por definição $1$.

Geralmente, se $\psi$ e $\phi$ forem vetores de estado quântico, o produto interno é $\braket{\phi|\psi}$. Este produto interno implica que a probabilidade de medir o estado $\ket{\psi}$ a ser $\ket{\phi}$ é $|\braket{\phi|\psi}|^2$.

A seguinte convenção é utilizada para descrever os estados quânticos que codificam os valores de zero e um (os estados de base computacional de qubit único):

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}{0}\ket{=,\qquad\begin{bmatrix} 0 \\ 1 .\end{bmatrix}=\ket{{1} $$

Exemplo: Representar a operação Hadamard com notação Dirac

A seguinte notação é frequentemente utilizada para descrever os estados resultantes da aplicação da porta Hadamard a $\ket{0}$ e $\ket{1}$. Estes estados correspondem aos vetores de unidades nas $direções +x$ e $-x$ na esfera bloch:

$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{=\ket{0}+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1=\end{bmatrix} H.\ket{{1}=\ket{{-} $$

Estes estados também podem ser expandidos com a notação Dirac como somas de $\ket{0}$ e $\ket{1}$:

$$\ket{+}={1}{\sqrt{2}}\frac{(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\frac{={1}{\sqrt{\ket{{2}}{-}(\ket{{0} - ). \ket{1} $$

Vetores de base computacional

Isto demonstra porque é que estes estados são frequentemente denominados base computacional: cada estado quântico pode sempre ser expresso como somas de vetores de base computacional e tais somas são facilmente expressas com a notação Dirac. O inverso também é verdadeiro na parte em que os estados $\ket{+}$ e $\ket{-}$ também formam uma base para estados quânticos. Pode ver isto a partir do facto de que

$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}),\qquad\frac{{1}{\sqrt{=\ket{{1}{2}}(\ket{+} - ). \ket{-} $$

Como exemplo de notação Dirac, considere o travão 0 1, que é o produto interno entre $0$ e $1$.}$|$\braket{ Pode ser escrito como

$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$

Este exemplo indica que $\ket{{0}$ e $\ket{{1}$ são vetores ortogonais, o que significa que $\braket{0 | 1=\braket{}1 | 0}=0.$ Além disso, por definição $\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, o que significa que os dois vetores de base computacional também podem ser chamados ortonormal.

Estas propriedades ortonormais são utilizadas no exemplo seguinte. Se tiver um estado $\ket{\psi}{\frac{3}{5}}=\ket{{1} +{4}{5}}{\frac{\ket{0}$ , porque $\braket{1 | 0}=0$ a probabilidade de medir $1 é$

$$\big|\braket{1 |^2\left|\frac{{3}{5}\braket{=1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2{25}=\frac{{9}{.\psi}\big| $$

Notação do produto Tensor

A notação dirac também inclui uma estrutura implícita do produto tensor . Esta estrutura é importante porque, na computação quântica, o vetor de estado descrito por dois registos quânticos não correlacionados são os produtos tensor dos dois vetores de estado. Descrever concisamente a estrutura do produto do tensor, ou a sua falta, é vital se quiser explicar um cálculo quântico. A estrutura do produto tensor implica que pode escrever $\psi\otimes\phi$ para qualquer dois vetores $\phi$ de estado quântico e $\psi$ como .$\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$ No entanto, por convenção, escrever $\otimes$ entre os vetores é desnecessário e pode escrever $\ket{\psi}\ket{\phi}$=\ket{\psi\phi}. Para obter mais informações sobre vetores e produtos de tensor, veja Vectors and Matrices in Quantum Computing (Vetores e Matrizes na Computação Quântica). Por exemplo, o estado com dois qubits inicializados para o estado zero é:

$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Da mesma forma, o estado $\ket{p}$ para número inteiro $p$ representa um estado quântico que codifica o número inteiro $p$ na representação binária. Por exemplo, se quiser expressar o número $5$ com uma codificação binária não assinada, pode igualmente expressá-lo como

$$\ket{1}\ket{0}\ket{1}=\ket{101}=\ket{5}. $$

Nesta notação, $\ket{0}$ não precisa de se referir a um estado de qubit único, mas sim a um registo de qubits que armazena uma codificação binária de $0$. As diferenças entre estas duas notações são claras no contexto. Esta convenção é útil para simplificar o primeiro exemplo, que pode ser escrito de qualquer uma das seguintes formas:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0{0}\ket{\otimes\cdots|=\end{bmatrix}\otimes\ket{0}= 0\cdots 0=\ket{\rangle{0}^ n{\otimes}$$

em que $\ket{0}^{\otimes n}$ representa o produto tensor de $n$$\ket{0}$ estados quânticos.

Exemplo: descrever a sobreposição com a notação Dirac

Como outro exemplo de como pode utilizar a notação Dirac para descrever um estado quântico, considere as seguintes formas equivalentes de escrever um estado quântico que seja uma sobreposição igual em todas as cadeias de bits possíveis de comprimento $n$

$$H^{\otimes n\frac{1}{\ket{0}}=2^{n/2\sum}}_{j=0}^{2^n-1\ket{}j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$

Aqui pode perguntar-se por que motivo a soma vai de $0$ a $2^{n-1}$ para $n$ bits. Em primeiro lugar, tenha em atenção que existem $2^{n}$ configurações diferentes que $n$ bits podem ter. Pode ver isto observando que um bit pode levar $2$ valores, mas dois bits podem levar $4$ valores e assim sucessivamente. Em geral, isto significa que existem $2^n$ cadeias de bits possíveis diferentes, mas o maior valor codificado em qualquer uma delas $1\cdots 1=2^n-1$ e, portanto, é o limite superior da soma. Como nota lateral, neste exemplo não utilizou $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ em analogia a{0}$\ket{ ^{\otimes n{0}$}=\ket{. Esta convenção notacional está reservada para o estado de base computacional com cada qubit inicializado como zero. Embora tal convenção seja sensata neste caso, não é utilizada na literatura de computação quântica.

Express linearity with Dirac notation (Express linearity with Dirac notation)

Outra funcionalidade da notação dirac é o facto de ser linear. Por exemplo, para dois números complexos $\alpha$ e $\beta$, pode escrever

$$\ket{\psi}\otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$

Ou seja, pode distribuir a notação do produto tensor na notação Dirac para que a tomada de produtos de tensor entre vetores de estado acabe por ser semelhante à multiplicação comum.

Os vetores de sutiã seguem uma convenção semelhante aos vetores de ket. Por exemplo, o vetor $\bra{\psi}\bra{\phi}$ é equivalente ao vetor $\pside estado ^\otimes\phi\dagger^\dagger=(\psi\otimes\phi)^.\dagger$ Se o vetor $\ket{\psi}$ de ket for $\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, a versão do vetor de sutiã do vetor é $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger= ({0}\alpha\bra{^* +\bra{1}\beta^*).$

Por exemplo, imagine que pretende calcular a probabilidade de medir o estado $\ket{\psi}=\ket{\frac{3}{5}{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$ com um programa quântico para medir estados como $\ket{+}$ ou .$\ket{{-}$ Em seguida, a probabilidade de o dispositivo exportar que o estado é $\ket{-}$

$$|\braket{- |^2\left|\frac{{1}{\sqrt{={2}}(\bra{0} -{1}\bra{ )(\ket{\frac{3}{5}{1} + \frac{\ket{0}{4}{5}) \right|^2-5\sqrt{{2}}=\left|\frac{3}{ +{4}{\frac{ 5\sqrt{2}}\right|^2.=\frac{{1}{{50}\psi}|$$

O facto de o sinal negativo aparecer no cálculo da probabilidade é uma manifestação de interferência quântica, que é um dos mecanismos através dos quais a computação quântica ganha vantagens em relação à computação clássica.

ketbra ou produto externo

O item final que vale a pena discutir na notação Dirac é o ketbra ou o produto externo. O produto externo é representado em Notações dirac como $\ket{\psi}\bra{\phi}$, e por vezes denominado ketbras porque os sutiãs e os kets ocorrem na ordem oposta como travões. O produto externo é definido através da multiplicação de matriz como $\ket{\psi}\phi=\bra{\phi}\psi^\dagger$ para vetores $\psi$ de estado quântico e .$\phi$ O exemplo mais simples e indiscutivelmente mais comum desta notação é

$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\bra{1}=\qquad\ket{1}\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$

As Ketbras são frequentemente denominadas projetores porque projectam um estado quântico num valor fixo. Uma vez que estas operações não são unitárias (e nem sequer preservam a norma de um vetor), um computador quântico não pode aplicar deterministicamente um projetor. No entanto, os projetores fazem um excelente trabalho ao descrever a ação que a medição tem num estado quântico. Por exemplo, se medir um estado $\ket{\psi}$ como $0$, a transformação resultante que o estado experimenta como resultado da medição é

$$\ket{\psi}\rightseta \frac{(\ket{{0}{0}\bra{)\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$

como seria de esperar se medisse o estado e considerasse que era $\ket{0}$. Para reiterar, esses projetores não podem ser aplicados num estado num computador quântico de forma determinista. Em vez disso, na melhor das hipóteses, podem ser aplicadas aleatoriamente com o resultado $\ket{0}$ a aparecer com alguma probabilidade fixa. A probabilidade de tal medição ser bem-sucedida pode ser escrita como o valor expetativa do projetor quântico no estado

$$\bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}|=|\braket{\psi 0}|^2,$$

que ilustra que os projetores dão uma nova forma de expressar o processo de medição.

Se, em vez disso, considerar medir o primeiro qubit de um estado de vários qubits como $1$, também pode descrever este processo convenientemente com projetores e Notação dirac:

$$P(\text{primeiro qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$

Aqui, a matriz de identidade pode ser escrita convenientemente na notação Dirac como

$$\mathbf{1}=\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\begin{bmatrix}\bra{{1}=1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$

Para o caso em que existem dois qubits, o projetor pode ser expandido como

$$\ket{1}\bra{1}\otimes\id=\ket{{1}\bra{1}\otimes(\ket{{0}{0}\bra{+\ket{1}{1}\bra{)={10}\ket{10}\bra{ + . \ket{{11}\bra{{11} $$

Em seguida, pode ver que isto é consistente com o debate sobre as probabilidades de medição para estados de múltiplos débitos através da notação de vetor de colunas:

$$P(\text{primeiro qubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{11}{^\dagger)|\psi=e_{10}{^^\dagger\psi|2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$

que corresponde ao debate de medição de vários qubits. No entanto, a generalização deste resultado para o caso de vários qubits é ligeiramente mais simples de expressar com a notação Dirac do que a notação de vetor de colunas e é totalmente equivalente ao tratamento anterior.

Operadores de densidade

Outro operador útil para expressar com a notação Dirac é o operador de densidade, por vezes também conhecido como operador de estado. Como vetor de estado quântico, o operador de densidade descreve o estado quântico de um sistema. No entanto, embora os vetores de estado quântico só possam representar estados puros, os operadores de densidade também podem representar estados mistos.

Geralmente, uma determinada matriz $\rho$ é um operador de densidade válido se as seguintes condições forem cumpridas:

$\rho$ é uma matriz de números complexos
$\rho = \rho^{\dagger}$ (ou seja, $\rho$ é Hermitiano)
Cada eigenvalue $p$ de $\rho$ é $0 <= p <= 1$
Todos os valores eigenvalues de $\rho$ soma a 1

Em conjunto, estas condições garantem que $\rho$ pode ser considerado um conjunto. Um operador de densidade para um vetor $\ket{\psi}$ de estado quântico assume a forma $\rho\sum= _i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$ é uma decomposição de eigenvalue de $\rho$, então $\rho$ descreve o conjunto $\rho ={\ket{\psi_i\text{}com probabilidade} p_i .}$

Os estados quânticos puros são aqueles que são caracterizados por um único vetor de ket ou wavefunction, e não podem ser escritos como uma mistura estatística (ou combinação convexa) de outros estados quânticos. Um estado quântico misto é um conjunto estatístico de estados puros.

Numa esfera bloch, os estados puros são representados por um ponto na superfície da esfera, enquanto os estados mistos são representados por um ponto interior. O estado misto de um único qubit é representado pelo centro da esfera, por simetria. A pureza de um estado pode ser visualizada como o grau em que está perto da superfície da esfera.

Este conceito de representar o estado como uma matriz, em vez de um vetor, é muitas vezes conveniente porque dá uma forma conveniente de representar cálculos de probabilidade e também lhe permite descrever a incerteza estatística e a incerteza quântica dentro do mesmo formalismo.

Um operador $de densidade \rho$ representa um estado puro se e apenas se:

$\rho$ pode ser escrito como um produto externo de um vetor de estado, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
$\rho =\rho^2$
$tr(\rho^2)=1$

Para saber até que ponto um determinado operador $de densidade \rho$ está a ser puro, pode ver o rastreio (ou seja, a soma dos elementos diagonais) de $\rho^2$. Um operador de densidade representa um estado puro se e apenas se $tr(\rho ^{2})=1$.

Q# sequências de porta equivalentes a estados quânticos

Um ponto final que vale a pena elevar sobre a notação quântica e a Q# linguagem de programação: o início deste documento mencionou que o estado quântico é o objeto fundamental da informação na computação quântica. Em seguida, pode ser uma surpresa que não Q# exista noção de um estado quântico. Em vez disso, todos os estados são descritos apenas pelas operações utilizadas para os preparar. O exemplo anterior é uma excelente ilustração disto. Em vez de expressar uma sobreposição uniforme sobre cada cadeia de bits quânticos num registo, pode representar o resultado como $H^{\otimes n}\ket{0}$. Esta descrição exponencialmente mais curta do estado não só tem a vantagem que pode ter clássicamente em relação ao mesmo, como também define de forma concisa as operações necessárias para serem propagadas através da pilha de software para implementar o algoritmo. Por este motivo, Q# foi concebido para emitir sequências de porta em vez de estados quânticos; no entanto, a um nível teórico, as duas perspetivas são equivalentes.