Notação diracDirac Notation

Embora a notação vetorial da coluna seja ubíqua em álgebra linear, é frequentemente complicada na computação quântica, especialmente quando lida com múltiplos qubits.While column vector notation is ubiquitous in linear algebra, it is often cumbersome in quantum computing especially when dealing with multiple qubits. Por exemplo, quando definimos $ \psi $ ser um vetor não é explicitamente claro se $ \psi $ é uma linha ou um vetor de coluna.For example, when we define $\psi$ to be a vector it is not explicitly clear whether $\psi$ is a row or a column vector. Assim, se $ \phi $ e $ \psi $ são vetores, então é igualmente incerto se $ \phi \psi $ é definido porque as formas $ \phi $ de e $ \psi $ pode ser pouco claro no contexto.Thus if $\phi$ and $\psi$ are vectors then it is equally unclear if $\phi \psi$ is even defined because the shapes of $\phi$ and $\psi$ may be unclear in the context. Além da ambiguidade sobre as formas dos vetores, expressar até vetores simples usando a notação algébrica linear introduzida anteriormente pode ser muito complicado.Beyond the ambiguity about the shapes of vectors, expressing even simple vectors using the linear algebraic notation introduced earlier can be very cumbersome. Por exemplo, se quisermos descrever um $ $ estado n-qubit onde cada qubit leva o valor $ $ 0, então nós expressar formalmente o estado comoFor example, if we wish to describe an $n$-qubit state where each qubit takes the value $0$ then we would formally express the state as

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \cdots \otimes \begin{bmatrix} \\ 10 \end{bmatrix} .$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes \cdots \otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

É claro que avaliar este produto tensor é impraticável porque o vetor está em um espaço exponencialmente grande e, portanto, esta notação é na verdade a melhor descrição do estado que pode ser dada usando a notação anterior.Of course evaluating this tensor product is impractical because the vector lies in an exponentially large space and so this notation is in fact the best description of the state that can be given using the previous notation.

A notação dirac resolve estas questões apresentando uma nova linguagem que se adequa às necessidades precisas da mecânica quântica.Dirac notation solves these issues by presenting a new language to fit the precise needs of quantum mechanics. Por esta razão, recomendamos que o leitor não veja os exemplos nesta secção como uma prescrição rígida de como descrever estados quânticos, mas sim encorajar o leitor a envergonhá-los como sugestões que podem ser usadas para expressar concisamente ideias quânticas.For this reason, we recommend the reader not view the examples in this section as a rigid prescription of how to describe quantum states, but rather encourage the reader to view these as suggestions that can be used to concisely express quantum ideas.

Existem dois tipos de vetores na notação dirac: o vetor de sutiã e o vetor de ket, assim chamado porque quando juntos formam um travão ou produto interno.There are two types of vectors in Dirac notation: the bra vector and the ket vector, so named because when put together they form a braket or inner product. Se $ \psi $ for um vetor de coluna, então podemos escrevê-lo na notação de Dirac como $ \ket { \psi } $ , onde o $ \ket { \cdot } $ denota que é um vetor de coluna unitária, ou seja, um vetor de ket.If $\psi$ is a column vector then we can write it in Dirac notation as $\ket{\psi}$, where the $\ket{\cdot}$ denotes that it is a unit column vector, i.e., a ket vector. Da mesma forma, o vetor de linha $ \psi ^ \dagger $ é expresso como $ \bra { \psi } $ .Similarly, the row vector $\psi^\dagger$ is expressed as $\bra{\psi}$. Por outras palavras, $ \psi ^ \dagger $ obtém-se através da aplicação de conjugação complexa de entrada aos elementos da transposição de $ \psi $ .In other words, $\psi^\dagger$ is obtained by applying entry-wise complex conjugation to the elements of the transpose of $\psi$. A notação bra-ket diretamente implica que $ \braket { \psi | \psi } $ é o produto interno do vetor $ \psi $ com si mesmo, que é por definição $ 1 $ .The bra-ket notation directly implies that $\braket{\psi|\psi}$ is the inner product of vector $\psi$ with itself, which is by definition $1$.

De uma forma mais geral, se $ \psi $ e $ \phi $ são vetores de estado quântico o seu produto interno $ \braket { \phi | \psi } $ é o que implica que a probabilidade de medir o estado $ \ket { \psi } $ a ser $ \ket { \phi } $ é $ | \braket { \phi | \psi } | ^2 $ .More generally, if $\psi$ and $\phi$ are quantum state vectors their inner product is $\braket{\phi|\psi}$ which implies that the probability of measuring the state $\ket{\psi}$ to be $\ket{\phi}$ is $|\braket{\phi|\psi}|^2$.

A convenção que se segue é utilizada para descrever os estados quânticos que codificam os valores de zero e um (os estados de base computacional de um único qubit):The following convention is used to describe the quantum states that encode the values of zero and one (the single-qubit computational basis states):

$$ \begin{bmatrix}\\10 \end{bmatrix} = \ket { } 0,\qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket{0},\qquad \begin{bmatrix}0 \\ \end{bmatrix} = \ket { 11 } .\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \ket{1}. $$

Exemplo: representar a operação Hadamard com notação diracExample: representing the Hadamard operation with Dirac notation

A seguinte notação é frequentemente usada para descrever os estados que resultam da aplicação do portão Hadamard para $ \ket { 0 } $ e $ \ket { 1 } $ (que correspondem aos vetores unitários nas $ direções +x $ e $ -x na esfera $ Bloch):The following notation is often used to describe the states that result from applying the Hadamard gate to $\ket{0}$ and $\ket{1}$ (which correspond to the unit vectors in the $+x$ and $-x$ directions on the Bloch sphere):

$$ \frac{1 } { \sqrt { 2 } } \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = H \ket { } = \ket { + } 0,\qquad\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{0} = \ket{+},\qquad \frac{1 } { \sqrt { 2 } } \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = H \ket { 1 } = \ket { - } .\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} =H\ket{1} = \ket{-} . $$

Estes Estados também podem ser expandidos usando a notação dirac como somas de $ \ket { 0 } $ e $ \ket { 1 } $ :These states can also be expanded using Dirac notation as sums of $\ket{0}$ and $\ket{1}$:

$$ \ket{+}= \frac{ 1 } { \sqrt { 2 } } ( \ket { 0 } + \ket { 1 } ), \qquad \ket { - } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \ket { 0 } - \ket { 1 } ).\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}),\qquad \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - \ket{1}). $$

Vetores de base computacionalComputational basis vectors

Isto demonstra porque é que estes Estados são muitas vezes chamados de base computacional: cada estado quântico pode sempre ser expresso como somas de vetores de base computacional e tais somas são facilmente expressas usando a notação dirac.This demonstrates why these states are often called a computational basis: every quantum state can always be expressed as sums of computational basis vectors and such sums are easily expressed using Dirac notation. O inverso também é verdade na medida em que os Estados $ \ket { + } $ e $ \ket { - } $ também constituem uma base para os Estados quânticos.The converse is also true in that the states $\ket{+}$ and $\ket{-}$ also form a basis for quantum states. Pode ver isto pelo facto de queYou can see this from the fact that

$$ \ket{} = \frac { 0 } { \sqrt { 12 } } ( \ket { + } + \ket { - } ), \qquad \ket { 1 } = \frac { } { \sqrt { 12 } } ( \ket { + } - \ket { - } ).\ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}),\qquad \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}). $$

Como exemplo de notação Dirac, considere o travão $ \braket { 0 | } $ 1, que é o produto interno entre $ 0 $ e $ 1 $ .As an example of Dirac notation, consider the braket $\braket{0 | 1}$, which is the inner product between $0$ and $1$. Pode ser escrito comoIt can be written as

$$\braket{0 | 1 } = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \end{bmatrix} = 10.$$$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0.$$

Isto diz que $ \ket { 0 } $ e $ \ket { 1 } $ são vetores orthogonais, o que significa que $ \braket { 0 | 1 } = \braket { | 1 0 } = 0 $ .This says that $\ket{0}$ and $\ket{1}$ are orthogonal vectors, meaning that $\braket{0 | 1} = \braket{1 | 0} =0$. Também por definição $ \braket { | 0 0 } = \braket { 1 | 1 } = $ 1, o que significa que os dois vetores de base computacional também podem ser chamados ortormais.Also by definition $\braket{0 | 0} = \braket{1 | 1}=1$, which means that the two computational basis vectors can also be called orthonormal. Estas propriedades oronormais serão úteis no seguinte exemplo.These orthonormal properties will be useful in the following example. Se temos um estado $ \ket { \psi } = { \frac { } { 3 5 } } \ket { 1 } + { \frac { 4 } { 5 } } \ket { } $ 0, então porque $ \braket { 1 | 0 } = 0 $ a probabilidade de medir $ 1 $ éIf we have a state $\ket{\psi} = {\frac{3}{5}} \ket{1} + {\frac{4}{5}} \ket{0}$ then because $\braket{1 | 0} =0$ the probability of measuring $1$ is

$$\big|\braket{1 | \psi } \big | ^2 = \left | \frac { 3 } { 5 } \braket { | 1 } + \frac { 1 } { 4 5 } \braket { 1 | 0 } \right | ^2 = \frac { 9 } { 25 } .$$$$\big|\braket{1 | \psi}\big|^2= \left|\frac{3}{5}\braket{1 | 1} +\frac{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2=\frac{9}{25}.$$

Notação do produto tensorTensor product notation

A notação dirac também inclui uma estrutura implícita do produto tensor dentro dela.Dirac notation also includes an implicit tensor product structure within it. Isto é importante porque na computação quântica, o vetor de estado descrito por dois registos quânticos não correlacionados é os produtos de tensor dos dois vetores estatais.This is important because in quantum computing, the state vector described by two uncorrelated quantum registers is the tensor products of the two state vectors. Descrever concisamente a estrutura do produto tensor, ou falta dela, é vital se quiser explicar uma computação quântica.Concisely describing the tensor product structure, or lack thereof, is vital if you want to explain a quantum computation. A estrutura do produto tensor implica que podemos escrever $ \psi \otimes \phi $ para qualquer dois vetores de estado quântico $ \phi $ e $ \psi $ como $ \ket { \psi } \ket { \phi } $ , por vezes explicitamente escrito como $ \ket { \psi } \otimes \ket { \phi } $ , no entanto, por convenção escrita $ \otimes $ entre os vetores é desnecessário.The tensor product structure implies that we can write $\psi \otimes \phi$ for any two quantum state vectors $\phi$ and $\psi$ as $\ket{\psi} \ket{\phi}$, sometimes explicitly written as $\ket{\psi} \otimes \ket{\phi}$, however by convention writing $\otimes$ in between the vectors is unnecessary. Por exemplo, o estado com dois qubits inicializados para o estado zero é dado porFor example, the state with two qubits initialized to the zero state is given by

$$ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \\ 0 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket { } \otimes \ket { 0 } = \ket { 0 } \ket { 0 } 0 .\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket{0} \otimes \ket{0}= \ket{0} \ket{0}. $$

Da mesma forma, o estado $ \ket { p para o } $ inteiro p representa um $ estado $ quântico que codifica na representação binária o inteiro $ p $ .Similarly, the state $\ket{p}$ for integer $p$ represents a quantum state that encodes in binary representation the integer $p$. Por exemplo, se quisermos expressar o número $ 5 $ usando uma codificação binária não assinada, poderíamos igualmente expressá-lo comoFor example, if we wish to express the number $5$ using an unsigned binary encoding we could equally express it as

$$ \ket{1 } \ket { 0 } \ket { 1 } = \ket { 101 } = \ket { 5 } .\ket{1}\ket{0}\ket{1} = \ket{101} = \ket{5}. $$

Dentro desta notação $ \ket { 0 } $ não é necessário referir-se a um estado de um único qubit, mas sim a um registo qubit que armazena uma codificação binária de $ 0 $ .Within this notation $\ket{0}$ need not refer to a single-qubit state but rather a qubit register storing a binary encoding of $0$. As diferenças entre estas duas notações são geralmente claras do contexto.The differences between these two notations is usually clear from the context. Esta convenção é útil para simplificar o primeiro exemplo que pode ser escrito de qualquer das seguintes formas:This convention is useful for simplifying the first example which can be written in any of the following ways:

$$ \begin{bmatrix}1 \\ \end{bmatrix} \otimes \cdots \otimes \begin{bmatrix} 0 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket { } \otimes \cdots \otimes \ket { 0 } = | 0 \cdots \rangle = \ket { 0 0 } ^ { \otimes n } = \ket { 0 } .\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes \cdots \otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \ket{0} \otimes \cdots \otimes \ket{0}= |0\cdots 0\rangle = \ket{0}^{\otimes n} = \ket{0}. $$

Exemplo: Descrever a sobreposição com notação diracExample: Describing superposition with Dirac notation

Como outro exemplo de como pode usar a notação de Dirac para descrever um estado quântico, considere as seguintes formas equivalentes de escrever um estado quântico que é uma superposição igual sobre cada possível comprimento $ n$As another example of how you can use Dirac notation to describe a quantum state, consider the following equivalent ways of writing a quantum state that is an equal superposition over every possible bit string of length $n$

$$ H^ { \otimes n } \ket { 0 } = \frac { 1 } { 2^ { n/2 } } \sum _ { j = 0 } ^ { 2^n-1 } \ket { j } = \ket { + } ^ { \otimes n } .H^{\otimes n} \ket{0} = \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{j=0}^{2^n-1} \ket{j} = \ket{+}^{\otimes n}. $$

Aqui pode perguntar-se por que razão a soma vai de $ 0 $ a $ 2^ { n } -1 $ para n $ $ bits.Here you may wonder why the sum goes from $0$ to $2^{n}-1$ for $n$ bits. Primeiro note que existem $ 2^ { n } $ configurações diferentes que $ n $ bits podem tomar.First note that there are $2^{n}$ different configurations that $n$ bits can take. Pode ver isso notando que uma parte pode levar $ 2 $ valores, mas dois bits podem levar $ 4 $ valores e assim por diante.You can see this by noting that one bit can take $2$ values but two bits can take $4$ values and so forth. Em geral, isto significa que $ existem 2^n $ diferentes cordas de bits possíveis, mas o maior valor codificado em qualquer um deles $ \cdots 1 = 1 2^n-1 $ e, portanto, é o limite superior para a soma.In general, this means that there are $2^n$ different possible bit strings but the largest value encoded in any of them $1\cdots 1=2^n-1$ and hence it is the upper limit for the sum. Como nota lateral, neste exemplo não $ \ket { + } ^ { \otimes usamos n } = \ket { + } $ em analogia a $ \ket { 0 } ^ { \otimes n } = \ket { 0 } $ porque esta convenção notacional é geralmente reservada para o estado de base computacional com cada qubit inicializado a zero.As a side note, in this example we did not use $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ in analogy to $\ket{0}^{\otimes n} = \ket{0}$ because this notational convention is usually reserved for the computational basis state with every qubit initialized to zero. Embora tal convenção seja sensata neste caso, não é utilizada na literatura de computação quântica.While such a convention would be sensible in this case, it is not employed in the quantum computing literature.

Expressando linearidade com notação diracExpressing linearity with Dirac notation

Outra característica agradável da notação de Dirac é o facto de ser linear.Another nice feature of Dirac notation is the fact that it is linear. Se quisermos escrever para qualquer quatro vetores de estado quântico,If we wish to write for any four quantum state vectors,

$$( \alpha \ket { \psi } + \beta \ket { \phi } ( \otimes \gamma \ket { } + \delta \ket { \omega } \chi) = \alpha \gamma \ket { \psi } \ket { \chi } + \alpha \delta \ket { \psi } \ket { \omega } + \beta \gamma \ket { \phi } \ket { \chi } + \beta \delta \ket { \phi } \ket { \omega } .$$$$(\alpha \ket{\psi} +\beta\ket{\phi})\otimes (\gamma \ket{\chi} + \delta \ket{\omega})= \alpha\gamma \ket{\psi}\ket{\chi} + \alpha\delta \ket{\psi}\ket{\omega}+\beta\gamma\ket{\phi}\ket{\chi}+\beta\delta\ket{\phi}\ket{\omega}.$$

Ou seja, você pode distribuir a notação de produto tensor na notação dirac de modo que tomar produtos de tensor entre vetores de estado acaba por parecer uma multiplicação normal.That is to say, you can distribute the tensor product notation in Dirac notation so that taking tensor products between state vectors ends up looking just like ordinary multiplication.

Os vetores de sutiã seguem uma convenção semelhante aos vetores de ket.Bra vectors follow a similar convention to ket vectors. Por exemplo, o vetor $ \bra { \psi } \bra { \phi } $ é equivalente ao vetor de estado $ \psi ^ \dagger \otimes \phi ^ \dagger = \psi \otimes \phi ()^ \dagger $ .For example, the vector $\bra{\psi}\bra{\phi}$ is equivalent to the state vector $\psi^\dagger \otimes \phi^\dagger=(\psi\otimes \phi)^\dagger$. Se o vetor ket $ \ket { \psi } $ for $ \alpha \ket { 0 } + \beta \ket { } $ 1, então a versão vetorial de soutien do vetor é $ \bra { \psi } = \ket { \psi } ^ \dagger = \bra { (0^* } \alpha + \bra { 1 } \beta ^**) $ .If the ket vector $\ket{\psi}$ is $\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ then the bra vector version of the vector is $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger = (\bra{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*)$.

Como exemplo, imagine que queremos calcular a probabilidade de medir o estado $ \ket { \psi } = \frac { } { 3 5 } \ket { 1 } + \frac { 4 } { 5 } \ket { 0 } $ usando um programa quântico para medir estados para ser $ \ket { + } $ ou $ \ket { - } $ .As an example, imagine that we wish to calculate the probability of measuring the state $\ket{\psi} = \frac{3}{5} \ket{1} + \frac{4}{5} \ket{0}$ using a quantum program for measuring states to be either $\ket{+}$ or $\ket{-}$. Então a probabilidade de que o dispositivo iria der o resultado que o estado $ \ket { - } $ éThen the probability that the device would output that the state is $\ket{-}$ is

$$|\braket{- |\psi}| ^2 = \left | \frac { } { \sqrt { 1 2 } } ( \bra { 0 } - \bra { 1 } ) ( \frac { 3 } { 5 } \ket { 1 } + \frac { } { 4 } \ket { 5 0 ) } \right | ^2 = \left | - \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } + \frac { 2 } { 4 \sqrt { 5 2 } } \right | ^2 = \frac { 1 } { 50 } .$$$$|\braket{- | \psi}|^2= \left|\frac{1}{\sqrt{2}}(\bra{0} - \bra{1})(\frac{3}{5} \ket{1} + \frac{4}{5} \ket{0}) \right|^2=\left|-\frac{3}{5\sqrt{2}} + \frac{4}{5\sqrt{2}}\right|^2=\frac{1}{50}.$$

O facto de o sinal negativo aparecer no cálculo da probabilidade é uma manifestação de interferência quântica, que é um dos mecanismos pelos quais a computação quântica ganha vantagens sobre a computação clássica.The fact that the negative sign appears in the calculation of the probability is a manifestation of quantum interference, which is one of the mechanisms by which quantum computing gains advantages over classical computing.

ketbra ou produto externoketbra or outer product

O item final que vale a pena discutir na notação dirac é o ketbra ou o produto exterior.The final item worth discussing in Dirac notation is the ketbra or outer product. O produto exterior é representado nas notações de Dirac como $ \ket { \psi } \bra { \phi } $ , e às vezes chamado ketbras porque os sutiãs e kets ocorrem na ordem oposta como travões.The outer product is represented within Dirac notations as $\ket{\psi} \bra{\phi}$, and sometimes called ketbras because the bras and kets occur in the opposite order as brakets. O produto exterior é definido através da multiplicação da matriz como $ \ket { \psi } \bra { \phi } = \psi \phi ^ \dagger $ para vetores de estado quântico $ \psi $ e $ \phi $ .The outer product is defined via matrix multiplication as $\ket{\psi} \bra{\phi} = \psi \phi^\dagger$ for quantum state vectors $\psi$ and $\phi$. O exemplo mais simples, e indiscutivelmente mais comum desta notação, éThe simplest, and arguably most common example of this notation, is

$$ \ket{0 } \bra { 0 } = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ & 0 \end{bmatrix} \qquad \ket { } \bra { 1 } = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & 1 0 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & 0 0 \\ 0 & 0 1 \end{bmatrix} .\ket{0} \bra{0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 &0\\ 0 &0\end{bmatrix} \qquad \ket{1} \bra{1} = \begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 &0\\ 0 &1\end{bmatrix}. $$

As Ketbras são muitas vezes chamadas de projetores porque projetam um estado quântico num valor fixo.Ketbras are often called projectors because they project a quantum state onto a fixed value. Uma vez que estas operações não são unitárias (e nem sequer preservam a norma de um vetor), não deve surpreender-se que um computador quântico não possa aplicar deterministicamente um projetor.Since these operations are not unitary (and do not even preserve the norm of a vector), it should come as no surprise that a quantum computer cannot deterministically apply a projector. No entanto, os projetores fazem um belo trabalho de descrever a ação que a medição tem sobre um estado quântico.However projectors do a beautiful job of describing the action that measurement has on a quantum state. Por exemplo, se medirmos um estado $ \ket { \psi } $ a $ ser $ 0, então a transformação resultante que o Estado experimenta como resultado da medição éFor example, if we measure a state $\ket{\psi}$ to be $0$ then the resulting transformation that the state experiences as a result of the measurement is

$$\ket{\psi}\rightseta \frac { ( \ket { 0 } \bra { } 0) \ket { \psi } } { | \braket { 0 | \psi } | } = \ket { 0 } ,$$$$\ket{\psi} \rightarrow \frac{(\ket{0} \bra{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 | \psi}|}= \ket{0},$$

como se espera que se medir o Estado e encontrá-lo ser $ \ket { 0 } $ .as one expects if you were to measure the state and find it to be $\ket{0}$. Para reiterar, tais projetores não podem ser aplicados num estado num computador quântico deterministicamente.To reiterate, such projectors cannot be applied on a state in a quantum computer deterministically. Em vez disso, podem, na melhor das hipóteses, ser aplicados aleatoriamente com o resultado $ \ket { 0 } $ aparecendo com alguma probabilidade fixa.Instead, they can at best be applied randomly with the result $\ket{0}$ appearing with some fixed probability. A probabilidade de tal medição ser bem sucedida pode ser escrita como o valor de expectativa do projetor quântico no estadoThe probability of such a measurement succeeding can be written as the expectation value of the quantum projector in the state

$$ \bra{\psi}( \ket { 0 } \bra { 0 } ) \ket { \psi } = | \braket { \psi | 0 } | ^2,$$\bra{\psi} (\ket{0} \bra{0})\ket{\psi} = |\braket{\psi | 0}|^2, $$

o que ilustra que os projetores simplesmente dão uma nova forma de expressar o processo de medição.which illustrates that projectors simply give a new way of expressing the measurement process.

Se, em vez disso, considerarmos medir o primeiro qubit de um estado multi-qubit para ser $ $ 1, então também podemos descrever este processo convenientemente usando projetores e notação Dirac:If instead we consider measuring the first qubit of a multi-qubit state to be $1$ then we can also describe this process conveniently using projectors and Dirac notation:

$$ P( \text { primeiro qubit = 1 } ) = \bra { \psi } \left ( \ket { 1 } \bra { 1 } \otimes \boldone ^ { \otimes n-1 } \right ) \ket { \psi } .P(\text{first qubit = 1})= \bra{\psi}\left(\ket{1}\bra{1}\otimes \boldone^{\otimes n-1}\right) \ket{\psi}. $$

Aqui a matriz de identidade pode ser convenientemente escrita na notação dirac comoHere the identity matrix can be conveniently written in Dirac notation as

$$ \boldone= \ket{ 0 } \bra { 0 } + \ket { 1 } \bra { } = \begin{bmatrix} 1 & 1 0 \\ & 0 1 \end{bmatrix} .\boldone = \ket{0} \bra{0}+\ket{1} \bra{1}= \begin{bmatrix}1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}. $$

Para o caso em que há dois qubits o projetor pode ser expandido comoFor the case where there are two-qubits the projector can be expanded as

$$ \ket{1 } \bra { 1 } \otimes \id = \ket { } \bra { 1 1 } \otimes 1 ( \ket { 0 } \bra { 0 } + \ket { 1 } \bra { 1 } ) = \ket { 10 } \bra { 10 } + \ket { 11 } \bra { 11 } .\ket{1} \bra{1} \otimes \id = \ket{1}\bra{1} \otimes (\ket{0} \bra{0}+\ket{1} \bra{1})= \ket{10}\bra{10} + \ket{11}\bra{11}. $$

Podemos então ver que isso é consistente com a discussão sobre as probabilidades de medição para estados multiqubit usando notação de coluna-vector:We can then see that this is consistent with the discussion about measurement likelihoods for multiqubit states using column-vector notation:

$$ P( \text { primeiro qubit = 1 } ) = \psi ^ \dagger (e _ { 10 } e _ { 10 + e } ^ \dagger _ { 11 e } _ { 11) } ^ \dagger e \psi = | _ { 10 } ^ \dagger \psi | ^2 + | e _ { 11 } ^ \dagger \psi | ^2,$$P(\text{first qubit = 1})= \psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{11}e_{11}^\dagger)\psi = |e_{10}^\dagger \psi|^2 + |e_{11}^\dagger \psi|^2, $$

que corresponde à discussão de medição de múltiplos qubits.which matches the multi-qubit measurement discussion. A generalização deste resultado para o caso multi-qubit, no entanto, é um pouco mais simples de expressar usando a notação dirac do que a notação de vetores de coluna, e é inteiramente equivalente ao tratamento anterior.The generalization of this result to the multi-qubit case, however, is slightly more straightforward to express using Dirac notation than column-vector notation, and is entirely equivalent to the previous treatment.

Operadores de densidadeDensity operators

Outro operador útil para expressar usando a notação Dirac é um operador de densidade, por vezes também conhecido como um operador estatal.Another useful operator to express using Dirac notation is a density operator, sometimes also known as a state operator. Um operador de densidade para um vetor de estado quântico toma a forma $ \rho = \ket { \psi } \bra { \psi } $ .A density operator for a quantum state vector takes the form $\rho = \ket{\psi} \bra{\psi}$. Este conceito de representar o Estado como uma matriz, em vez de um vetor, é muitas vezes conveniente porque dá uma maneira conveniente de representar cálculos de probabilidade, e também permite descrever tanto a incerteza estatística como a incerteza quântica dentro do mesmo formalismo.This concept of representing the state as a matrix, rather than a vector, is often convenient because it gives a convenient way of representing probability calculations, and also allows one to describe both statistical uncertainty as well as quantum uncertainty within the same formalism. Os operadores gerais do Estado quântico, em vez de vetores, são omnipresentes em algumas áreas da computação quântica, mas não são necessários para entender os fundamentos do campo.General quantum state operators, rather than vectors, are ubiquitous in some areas of quantum computing but are not necessary to understand the basics of the field. Para o leitor interessado, recomendamos a leitura de um dos livros de referência fornecidos para mais informações.For the interested reader, we recommend reading one of the reference books provided in For more information.

Q# sequências de portão equivalentes a estados quânticosQ# gate sequences equivalent to quantum states

Um último ponto que vale a pena levantar sobre a notação quântica e Q# a linguagem de programação: no início deste documento mencionamos que o estado quântico é o objeto fundamental da informação na computação quântica.A final point worth raising about quantum notation and the Q# programming language: at the onset of this document we mentioned that the quantum state is the fundamental object of information in quantum computing. Pode então ser uma surpresa que Q# não haja noção de estado quântico.It may then come as a surprise that in Q# there is no notion of a quantum state. Em vez disso, todos os Estados são descritos apenas pelas operações usadas para os preparar.Instead, all states are described only by the operations used to prepare them. O exemplo anterior é uma excelente ilustração disto.The previous example is an excellent illustration of this. Em vez de expressar uma sobreposição uniforme sobre cada corda quântica num registo, podemos representar o resultado como $ H^ { \otimes n } \ket { 0 } $ .Rather than expressing a uniform superposition over every quantum bit string in a register, we can represent the result as $H^{\otimes n} \ket{0}$. Esta descrição exponencialmente mais curta do estado não só tem a vantagem de que podemos raciocinar clássicamente sobre ele, mas também define concisamente as operações necessárias para ser propagada através da pilha de software para implementar o algoritmo.This exponentially shorter description of the state not only has the advantage that we can classically reason about it, but it also concisely defines the operations needed to be propagated through the software stack to implement the algorithm. Por esta razão, Q# é projetado para emitir sequências de portão em vez de estados quânticos; no entanto, a um nível teórico as duas perspetivas são equivalentes.For this reason, Q# is designed to emit gate sequences rather than quantum states; however, at a theoretical level the two perspectives are equivalent.