Dinâmica QuânticaQuantum Dynamics

A Mecânica Quântica é em grande parte o estudo da dinâmica quântica, que procura entender como um estado quântico inicial $\ket{\psi(0)}} varia ao longo do tempo (ver os docs conceptuais sobre computação quântica para mais informações sobre notação dirac).Quantum mechanics is largely the study of quantum dynamics, which seeks to understand how an initial quantum state $\ket{\psi(0)}$ varies over time (see the conceptual docs on quantum computing for more info on Dirac notation). Especificamente, dada esta condição inicial um estado quântico, um tempo de evolução e uma especificação do sistema dinâmico quântico, é procurado um estado quântico $\ket{\psi(t)}$Specifically, given this initial condition a quantum state, an evolution time and a specification of the quantum dynamical system, a quantum state $\ket{\psi(t)}$ is sought. Antes de continuar a explicar a dinâmica quântica, é útil dar um passo atrás e pensar na dinâmica clássica, uma vez que fornece insights sobre como a mecânica quântica não é realmente tão diferente da dinâmica clássica.Before proceeding to explain quantum dynamics, it is useful to take a step back and think about classical dynamics since it provides insights into how quantum mechanics is really not that different from classical dynamics.

Na dinâmica clássica, sabemos pela segunda lei de movimento de Newton que a posição de uma partícula evolui de acordo com $F(x,t)=ma=m\frac{\dd^2}dd t^2}{x},(t)$, onde $F(x,t)$ é a força,$m$ é a massa e $a$ é a aceleração.In classical dynamics, we know from Newton's second law of motion that the position of a particle evolves according to $F(x,t)=ma=m\frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$, where $F(x,t)$ is the force,$m$ is the mass and $a$ is the acceleration. Então, dada a posição inicial $x(0)$, tempo de evolução $t$, e descrição das forças que atuam sobre a partícula, podemos então encontrar $x(t)$ resolvendo a equação diferencial dada pelas equações de Newton para $x(t)$.Then, given an initial position $x(0)$, evolution time $t$, and description of the forces that act on the particle, we can then find $x(t)$ by solving the differential equation given by Newton's equations for $x(t)$. Especificar as forças desta forma é um pouco chato.Specifying the forces in this way is a bit of a pain. Por isso, expressamos frequentemente as forças em termos da energia potencial do sistema, que nos dá $-\partial_x V(x,t) = m \frac{\dd^2}dd t^2}}}}}}x}(t)$.So we often express the forces in terms of the potential energy of the system, which gives us $-\partial_x V(x,t) = m \frac{\dd^2}{\dd t^2}{x}(t)$. Assim, para uma partícula, a dinâmica do sistema é especificada apenas pela potencial função energética, a massa de partículas e o tempo de evolução.Thus, for a particle, the dynamics of the system are specified only by the potential energy function, the particle mass, and the evolution time.

Uma linguagem mais ampla é frequentemente introduzida para as dinâmicas clássicas que vão além $F=ma$.A broader language is often introduced for classical dynamics that goes beyond $F=ma$. Uma formulação, que é particularmente útil na mecânica quântica, é a mecânica hamiltoniana.One formulation, which is particularly useful in quantum mechanics, is Hamiltonian mechanics. Na mecânica hamiltoniana, a energia total de um sistema e as posições (generalizadas) e momenta dão toda a informação necessária para descrever o movimento de um objeto clássico arbitrário.In Hamiltonian mechanics, the total energy of a system and the (generalized) positions and momenta give all the information needed to describe the motion of an arbitrary classical object. Especificamente, deixe $f(x,p,t)$ ser alguma função das posições generalizadas $x$ e momenta $p$ de um sistema e deixar $H (x,p,t)$ ser a função hamiltoniana.Specifically, let $f(x,p,t)$ be some function of the generalized positions $x$ and momenta $p$ of a system and let $H(x,p,t)$ be the Hamiltonian function. Por exemplo, se tomarmos $f (x,p,t)= x(t)$ e $H(x,p,t)=p^2(t)/2m - V(x,t)$, então recuperaríamos o caso acima da dinâmica newtoniana.For example, if we take $f(x,p,t)= x(t)$ and $H(x,p,t)=p^2(t)/2m - V(x,t)$, then we would recover the above case of Newtonian dynamics. Em geral, temos então que \begin{align} \frac{d}{dt} f &= \partial_t f- (\partial_x H\partial_p f + \partial_p H\partial_x f) \ \ &\defeq \partial_t f + \ {f,H \ }.In generality, we then have that \begin{align} \frac{d}{dt} f &= \partial_t f- (\partial_x H\partial_p f + \partial_p H\partial_x f)\\ &\defeq \partial_t f + \{f,H\}. \end{align} Aqui $ \ {f,H \ }$ é chamado de suporte Poisson e aparece ubiquicamente na dinâmica clássica devido ao papel central que desempenha na definição da dinâmica.\end{align} Here $\{f,H\}$ is called the Poisson bracket and appears ubiquitously in classical dynamics because of the central role it plays in defining dynamics.

A dinâmica quântica pode ser descrita usando exatamente a mesma língua.Quantum dynamics can be described using exactly the same language. O Hamiltonian, ou energia total, especifica completamente a dinâmica de qualquer sistema quântico fechado.The Hamiltonian, or total energy, completely specifies the dynamics of any closed quantum system. Há, no entanto, algumas diferenças substanciais entre as duas teorias.There are, however, some substantial differences between the two theories. Na mecânica clássica $x dólares e $p dólares são apenas números, enquanto na mecânica quântica não são.In classical mechanics $x$ and $p$ are just numbers, whereas in quantum mechanics they are not. Na verdade, nem sequer viajam: $xp \ne px$.Indeed, they do not even commute: $xp \ne px$.

O conceito matemático certo para descrever estes objetos não comutados é um operador, que nos casos em que $x$ e $p$ só pode levar um conjunto discreto de valores coincide com o conceito de uma matriz.The right mathematical concept to describe these non-commuting objects is an operator, which in cases where $x$ and $p$ can only take a discrete set of values coincides with the concept of a matrix. Assim, para a simplicidade, vamos assumir que o nosso sistema quântico é finito para que possa ser descrito usando vetores e matrizes.Thus for simplicity, we will assume that our quantum system is finite so that it can be described using vectors and matrices. Exigimos ainda que estas matrizes sejam hermitianas (o que significa que a transposição conjugada da matriz é a mesma que a matriz original).We further require that these matrices be Hermitian (meaning that the conjugate transpose of the matrix is the same as the original matrix). Isto garante que os valores de eigenues das matrizes são valorizados em realidade; uma condição que impomos para garantir que quando medimos uma quantidade como posição que não temos de voltar a sair de um número imaginário.This guarantees that the eigenvalues of the matrices are real-valued; a condition which we impose to ensure that when we measure a quantity like position that we don't get back out an imaginary number.

Tal como os análogos de posição e dinâmica na mecânica quântica precisam de ser substituídos pelos operadores, a função hamiltoniana tem de ser igualmente substituída por um operador.Just as the analogues of position and momentum in quantum mechanics need to be replaced by operators, the Hamiltonian function needs to be similarly replaced by an operator. Por exemplo, para uma partícula no espaço livre temos que $H(x,p) = p^2/2m$ enquanto na mecânica quântica o operador hamiltoniano $\hat{H}} é $\hat{H}= \hat{p}^2/2m$ onde $\hat{p}$ é o operador de impulso.For example, for a particle in free space we have that $H(x,p) = p^2/2m$ whereas in quantum mechanics the Hamiltonian operator $\hat{H}$ is $\hat{H}= \hat{p}^2/2m$ where $\hat{p}$ is the momentum operator. Nesta perspetiva, passar da dinâmica clássica para a quântica envolve apenas substituir as variáveis utilizadas na dinâmica ordinária pelos operadores.From this perspective, going from classical to quantum dynamics merely involves replacing the variables used in ordinary dynamics with operators. Uma vez que construímos o operador hamiltoniano traduzindo o hamiltoniano clássico comum para a linguagem quântica, podemos expressar a dinâmica de uma quantidade mecânica quântica arbitrária (ou seja, operador mecânico quântico) $\hat{f}(t)$ via \start{} \frac{d}{d}} \hat{f} = \partial_t \hat{f} + [\hat{f} + [\hat{f},,hat{H}], \end{align} onde $[f,H] = fH -Hf$Once we have constructed the Hamiltonian operator by translating the ordinary classical Hamiltonian over to quantum language, we can express the dynamics of an arbitrary quantum mechanical quantity (i.e. quantum mechanical operator) $\hat{f}(t)$ via \begin{align} \frac{d}{dt} \hat{f} = \partial_t \hat{f} + [\hat{f},\hat{H}], \end{align} where $[f,H] = fH -Hf$ is known as the commutator. Esta expressão é exatamente igual à expressão clássica dada acima com a diferença de que o suporte poisson $ \ {f,H \ }$ sendo substituído pelo comutador entre $f$ e $H$.This expression is exactly like the classical expression given above with the difference that the Poisson bracket $\{f,H\}$ being replaced with the commutator between $f$ and $H$. Este processo de tomar um hamiltoniano clássico e usá-lo para encontrar um hamiltoniano quântico é conhecido no jargão quântico como quantização canónica.This process of taking a classical Hamiltonian and using it to find a quantum Hamiltonian is known in quantum jargon as canonical quantization.

Em que operadores $f$ estamos mais interessados?What operators $f$ are we most interested in? A resposta a esta questão depende do problema que queremos resolver.The answer to this depends on the problem that we want to solve. Talvez a quantidade mais útil a encontrar seja o operador do Estado quântico, que, como discutido na documentação conceptual anterior, pode ser usado para extrair tudo o que gostaríamos de aprender sobre a dinâmica.Perhaps the most useful quantity to find is the quantum state operator, which as discussed in the earlier conceptual documentation can be used to extract everything that we would like learn about the dynamics. Depois de o fazer (e simplificando o resultado para o caso em que se tem um estado puro), a equação de Schrödinger para o estado quântico é encontrada \start{align} i\partial_t \ket{\psi(t)} = \hat{H}(t) \ket\psi(t)}}After doing this (and simplifying the result to the case where one has a pure state), the Schrödinger equation for the quantum state is found \begin{align} i\partial_t \ket{\psi(t)} = \hat{H}(t) \ket{\psi(t)}. \end{align}\end{align}

Esta equação, embora talvez menos intuitiva do que a acima dada, produz talvez a expressão mais simples para entender como simular dinâmicas quânticas num computador quântico ou clássico.This equation, though perhaps less intuitive than that given above, yields perhaps the simplest expression for understanding how to simulate quantum dynamics on either a quantum or classical computer. Isto porque a solução para a equação diferencial pode ser expressa da seguinte forma (para o caso em que o Hamiltonian é constante em $t$) \start{\ket{\psi(t)} = e^{-iHt}\ket{\psi(0)}}This is because the solution to the differential equation can be expressed in the following form (for the case where the Hamiltonian is constant in $t$) \begin{align} \ket{\psi(t)} = e^{-iHt}\ket{\psi(0)}. \end{align} Aqui $e^{-iHt}$ é uma matriz unitária.\end{align} Here $e^{-iHt}$ is a unitary matrix. Isto significa que existe um circuito quântico que pode ser projetado para executá-lo porque os computadores quânticos podem aproximar-se de qualquer matriz unitária.This means that there exists a quantum circuit that can be designed to perform it because quantum computers can closely approximate any unitary matrix. Este ato de encontrar um circuito quântico para implementar o operador de evolução do tempo quântico $e^{-iHt}} é o que é frequentemente chamado de simulação quântica, ou em particular simulação quântica dinâmica.This act of finding a quantum circuit to implement the quantum time evolution operator $e^{-iHt}$ is what is often called quantum simulation, or in particular dynamical quantum simulation.