Share via

Одно- и многокубитные операции измерения Паули

  • Статья

При работе с Q#вы обнаружите, что измерения Паули являются распространенным типом измерения. Измерения Паули обобщают вычислительные базовые измерения, чтобы включить измерения в других базах и четности между разными кубитами. В таких случаях часто обсуждается измерение оператора Паули, который является оператором $X, Y, Z$ или $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$ и т. д. Основные сведения о квантовом измерении см. в разделе Кубиты и Несколько кубитов.

Обсуждение измерения с точки зрения операторов Паули является общим в подполе квантовой коррекции ошибок.
В руководстве Q# применяются аналогичные обозначения; в этой статье объясняется это альтернативное представление измерений.

Совет

В Q# многокубитные операторы Паули обычно представляют в виде массивов типа Pauli[]. Например, для представления $X \otimes Z \otimes Y$ можно использовать массив [PauliX, PauliZ, PauliY].

Прежде чем перейти к подробному рассмотрению вопроса о том, как представить измерение Паули, полезно подумать о том, какое измерение квантового состояния производит один кубит внутри компьютера для квантовых вычислений. Представьте, что есть $n$-кубитное квантовое состояние; затем измерение одного кубита сразу же исключает половину $2^n$ возможностей состояния. Иными словами, измерение проецирует квантовое состояние на одну из двух половин пространства. Вы можете обобщить то, как вы думаете об измерении, чтобы отразить эту интуицию.

Для краткого определения этих подпространств нужен описательный язык. Одним из способов описания двух подпространств является составление описательной матрицы с двумя уникальными собственными значениями, которые по общему правилу выражаются как $\pm 1$. В качестве простого примера описания подпространств таким образом рассмотрим $Z$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Прочитав элементы матрицы Паули $Z$ по диагонали, можно увидеть, что $Z$ имеет два собственных вектора $\ket{0}$ и $\ket{1}$, с соответствующими собственными значениями $\pm 1$. Таким образом, если измерение кубита приводит Zero к (соответствует состоянию $\ket{0}$), известно, что состояние кубита является $+1$ собственным $состоянием оператора Z$ . Аналогичным образом, если результат равен One, известно, что состояние кубита равно $-1$ собственное состояние $Z$. Этот процесс на языке измерений Паули называется "измерение Паули $Z$", и он полностью эквивалентен измерению на вычислительной базе.

Любая матрица $2\times 2$, которая является унитарным преобразованием $Z$, также удовлетворяет этим критериям. То есть можно также использовать матрицу $A=U^\dagger Z U$, где $U$ — любая другая унитарная матрица, чтобы создать матрицу, определяющую два результата измерения по собственным векторам $\pm 1$. Нотация измерений Паули ссылается на эту унитарную эквивалентность путем определения измерений $X,Y,Z$ в качестве эквивалентных измерений, которые можно выполнить для получения информации из кубита. Эти измерения приведены здесь для удобства.

Измерение Паули Унитарное преобразование
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$да$ $HS^{\dagger}$

То есть, используя этот язык, " measure $Y$" эквивалентно применению $HS^\dagger$ и последующему измерению в вычислительной базе, где S является встроенной квантовой операцией, иногда называемой " фазовый шлюз,& quot; и можно смоделировать с помощью унитарной матрицы

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 0 \\& i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Это также эквивалентно применению $HS ^\dagger$ к вектору квантового состояния и последующему измерению $Z$, поэтому следующая операция эквивалентна Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

Затем правильное состояние определяется путем преобразования обратно в вычислительную базу, что равносильно применению $SH$ к вектору квантового within … apply состояния. В фрагменте кода преобразование обратно в вычислительную базу обрабатывается автоматически с использованием блока .

В Q#результат---это, классическая информация, извлекаемая из взаимодействия с состоянием--- задается с использованием Result значения $j \in \{\texttt{Zero}, One\}$,} указывающего, \texttt{находится ли результат в $(-1)^j$ собственное пространство измеренного оператора Паули.

Многокубитные измерения

Многокубитные измерения операторов Паули определяются аналогично, как показано далее:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 &усилие; 0 &усилий; 0&усилий; 0\\ 0&-1& 0&усилий; 0\\ 0&усилий; 0&-1& 0\\ 0&усилий; 0&усилий; 0&усилий; 1\end{bmatrix}. $$

Таким образом, тензорное произведение двух $Z$-операторов Паули образует матрицу, состоящую из двух пространств, образуемых собственными значениями $+1$ и $-1$. Как и в однокубитном варианте, оба оператора образуют полупространство, т.е. половина доступного векторного пространства относится к собственному пространству $+1$, а другая половина – собственному пространству $-1$. В целом из определения тензорного произведения легко понять, что любое тензорное произведение $Z$-операторов Паули и идентификаторов также подчиняется этому правилу. Например,

$$\begin{align}Z \otimes=\mathbf{{1}\begin{bmatrix} 1 & 0 amp; 0 && 0 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 0 & 0 &\\ amp; -1 & 0 0 & 0 \\ amp; 0 & 0 amp; 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Как и ранее, любое унитарное преобразование таких матриц также описывает два полупространства, $помеченных как \pm 1$ собственных значений. Например, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ по идентификатору $Z=HXH$. Как и в случае с одним кубитом, все двухкубитные измерения Паули могут быть записаны как $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ для $4\times 4$ унитарных матриц $U$. Преобразования приведены в следующей таблице.

Примечание

В этой таблице $\operatorname{swap используется для указания матричного $$\begin{align}\operatorname{усилия SWAP; =\left}&}$(матрица 1 amp; 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 amp; 0 & 0 amp; 0 & 1 \end{матрица}\right)$$\end{align}используется для имитации встроенной операции SWAP.&}\begin{

Измерение Паули Унитарное преобразование
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Здесь операция CNOT отображается по следующей причине. Каждое измерение Паули, не включающее матрицу$\mathbf{1}$, эквивалентно унитарной z z $\otimes$ по предыдущему рассуждению. Собственные значения $Z\otimes Z$ зависят только от четности кубитов, из которых состоит каждый вектор вычислительной базы, а операции контролируемого логического НЕ предназначены для вычисления этой четности и сохранения в первом бите. После измерения первого бита можно восстановить идентификатор полученного полупространства, что эквивалентно измерению оператора Паули.

Кроме того, хотя может быть заманчиво предположить, что измерение $Z\otimes Z$ совпадает с последовательным измерением $Z\otimes\mathbb{{1}$ , а затем $\mathbb{1}\otimes Z$, это предположение будет ложным. Причина в том, что измерение $Z\otimes Z$ предполагает проецирование квантового состояния на собственное состояние $+1$ или $-1$ этих операторов. Последовательное измерение $Z\otimes\mathbb{1}$ и $\mathbb{1}\otimes Z$ предполагает проецирование вектора квантового состояния сначала на полупространство $Z\otimes\mathbb{{1}$, а затем на полупространство $\mathbb{{1}\otimes Z$. При наличии четырех векторов вычислительной базы выполнение обоих измерений приводит к сокращению состояния до четверти пространства и, следовательно, до одного вектора вычислительной базы.

Корреляции между кубитами

Иной взгляд на измерение тензорных произведений матриц Паули, например $X\otimes X$ или $Z\otimes Z$, заключается в том, что эти измерения позволяют учитывать информацию, хранящуюся в корреляциях между двумя кубитами. Измерение $X\otimes 1$ позволяет просмотреть сведения, которые локально хранятся в первом кубите. Несмотря на то, что оба типа измерений одинаково важны для квантовых вычислений, первый демонстрирует возможности квантовых вычислений. Это означает, что в квантовых вычислениях часто бывает так, что информация, которую необходимо изучить, не хранится в одном кубите, а распределена по всем кубитам, и поэтому только объединенное измерение позволяет получить ее (например, $Z\otimes Z$).

Также можно измерять произвольные операторы Паули, например $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$. Все такие тензорные произведения операторов Паули имеют только два собственных значения $\pm 1$, и оба собственные значения составляют полупространства всего векторного пространства. Таким образом, они совпадают с требованиями, изложенными ранее.

В Q# подобные измерения возвращают $j$, если измерение дает результат в собственном пространстве знака $(-1)^j$. Наличие измерений Паули в качестве встроенной функции в Q# полезно, поскольку для измерения таких операторов требуются длинные цепочки управляемых-НЕ вентилей и базовых преобразований, чтобы описать диагонализующий $шлюз U$ , необходимый для выражения операции как тензорное произведение $Z$ и $1$. Благодаря возможности указать на выполнение одного из предварительно заданных измерений, можно не беспокоиться о том, как преобразовать базис таким образом, чтобы измерение вычислительной базы позволяло получить необходимую информацию. Q# автоматически выполняет все необходимые преобразования базиса.

Теорема о запрете клонирования

Квантовая информация открывает большие возможности. Это позволяет делать удивительные вещи, такие как коэффициентные числа экспоненциально быстрее, чем самые известные классические алгоритмы, или эффективно имитировать коррелированные электронные системы, которые классически требуют экспоненциальных затрат для точного моделирования. Однако квантовые вычисления имеют свои ограничения. Одно из таких ограничений описано в теореме о запрете клонирования.

Теорема о запрете клонирования получила удачное название. Она отвергает возможность клонирования общих квантовых состояний с помощью компьютера для квантовых вычислений. Теорема подтверждается удивительно просто. Хотя полное доказательство теоремы без клонирования является слишком техническим для этой статьи, доказательство в случае отсутствия дополнительных вспомогательных кубитов находится в область.

Для такого квантового компьютера операцию клонирования необходимо описать с помощью унитарной матрицы. Квантовые измерения запрещены, поскольку они могут привести к повреждению клонируемого квантового состояния. Для симуляции операции клонирования требуется, чтобы в унитарной матрице использовалось свойство, которое удовлетворяет $$\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ для любого состояния $\ket{\psi}$. Далее свойство линейности матричного умножения предполагает, что для любого состояния второго квантования $\ket{\phi}$,

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Таким образом, в подтверждение теоремы о запрете клонирования мы можем предположить: любое устройство, которое копирует неизвестное квантовое состояние, должно провоцировать ошибки по крайней мере в некоторых скопированных состояниях. Несмотря на то, что основное предположение о том, что клонирующее устройство линейно воздействует на входное состояние, может быть нарушено в результате добавления и измерения вспомогательных кубитов, такое взаимодействие также приводит к потере информации о системе из-за статистики измерений и предотвращает точное клонирование в таких случаях.

Теорема о запрете клонирования важна для качественного понимания квантовых вычислений, так как если можно было бы экономично клонировать квантовые состояния, то у нас появилась бы почти волшебная возможность получения информации о квантовых состояниях. Действительно, можно было бы нарушать принцип неопределенности Гейзенберга. Кроме того, можно было бы использовать оптимальное устройство клонирования для получения одной выборки из сложного квантового распределения и узнавать все возможное об этом распределении с помощью всего одной выборки. Это было бы как вы перевернуть монету и наблюдая головы, а затем, рассказав другу о результате с ними ответить " Ах распределение этой монеты должно быть Бернулли с $p=0,512643\ldots$!" Такое утверждение было бы бессмысленно, поскольку один бит информации (результат головы) просто не может предоставить много битов информации, необходимой для кодирования распределения без существенной предварительной информации. Так же без предварительной информации невозможно точно клонировать квантовое состояние, так как невозможно подготовить комплект таких монет, не зная $p$.

В квантовых вычислениях нет свободной информации. Каждый измеренный кубит дает один бит информации, а согласно теореме о запрете клонирования, нет никакого черного хода для обхода фундаментального соотношения между полученной информацией о системе и возникающими в ней нарушениями.

Дальнейшие действия