Share via

Линейная алгебра для квантовых вычислений

  • Статья

Линейная алгебра — это язык квантовых вычислений. Хотя вам не нужно знать ее, чтобы создавать программы для квантовых вычислений, она широко используется для описания состояний кубитов, квантовых операций и прогнозирования того, что выполнит квантовый компьютер в ответ на последовательность инструкций.

Так же как знакомство с базовыми концепциями квантовой физики помогает понять принципы квантовых вычислений, знание некоторых базовых понятий линейной алгебры поможет вам разобраться с квантовыми алгоритмами. Как минимум вы должны быть знакомы с векторами и умножением матриц. Если вам необходимо обновить знания об этих понятиях алгебры, ознакомьтесь со следующими руководствами:

Векторы и матрицы в квантовых вычислениях

Кубит может находиться в состоянии 1 или 0, либо в их суперпозиции. При использовании линейной алгебры состояние кубита описывается как вектор и представлено матрицей$\begin{bmatrix} одного столбца b \\\end{bmatrix}$. Он также называется вектором квантового состояния и должен соответствовать требованию, что $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Элементы матрицы представляют вероятность сворачивания кубита так или иначе, при $|этом a|^2$ является вероятностью сворачивания до нуля, а $|b|^2$ — вероятность сворачивания до единицы. Следующие матрицы представляют допустимые квантовые состояния вектора:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\frac{\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\{1}{\sqrt{2}}\frac{ ,\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}{2}}\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} , \text{ и{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Квантовые операции также могут быть представлены матрицей. При выполнении квантовой операции с кубитом обе матрицы, представляющие его, умножаются, а полученный результат отражает новое состояние кубита после операции.

Ниже приведены две распространенные квантовые операции, представленные произведением матриц.

Операция X представлена матрицей $Паули X$,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

Она используется для изменения состояния кубита с 0 на 1 (или наоборот), например:

$$\begin{bmatrix}0 &усилий; 1\\ 1 &усилие; 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}=1 .\end{bmatrix}$$

Операция H представлена преобразованием $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &ам;-1\end{bmatrix},$$

Она приводит кубит в состояние суперпозиции, когда существует равная вероятность его перехода в одно из состояний:

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 &усилие; 1\\ 1 &ам;-1 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Обратите внимание, что $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$означает, что вероятность сворачивания до нуля и одного состояния одинакова.

Для матрицы, представляющей квантовую операцию, есть одно требование: она должна быть унитарной. Матрица является унитарной, если ее обратная матрица равна ее же эрмитово-сопряженной матрице.

Представление состояний двух кубит

В приведенных выше примерах состояние одного кубита было описано с помощью матрицы $\begin{bmatrix} одного столбца \\ b \end{bmatrix}$, а применение операции к нему описано путем умножения двух матриц. Но квантовые компьютеры используют не один кубит. Так как же описать комбинированное состояние двух кубитов?

Примечание

Реальная сила квантовых вычислений исходит от использования нескольких кубитов для выполнения вычислений. Более подробное описание этой статьи см. в разделе Операции с несколькими кубитами.

Помните, что каждый кубит является векторным пространством, поэтому его нельзя просто умножить. Вместо этого используется тензорное произведение, которое представляет собой связанную операцию, которая создает новое векторное пространство из отдельных векторных пространств и представлена символом $\otimes$ . Например, вычисляется тензорное произведение двух состояний кубита $\begin{bmatrix} b \end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix}$.\\

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\\ a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c d \\ d\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\end{bmatrix}=ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Результатом является четырехмерная матрица, в которой каждый элемент представляет вероятность. Например, $ac$ — это вероятность сворачивания двух кубитов до 0 и 0, $ad$ — вероятность 0 и 1 и т. д.

Как и однокубитное состояние $\begin{bmatrix}\\, b \end{bmatrix}$ должно соответствовать требованию, согласно $|которому a|^2 + |b|^2 = 1$ для представления квантового состояния, двухкубитное состояние $\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ должно соответствовать требованию ac|$|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Сводка

Линейная алгебра — это стандартный язык для описания квантовых вычислений и квантовой физики. Несмотря на то, что стандартная библиотека, входящая в состав корпорации Майкрософт Quantum Development Kit , помогает запускать сложные квантовые алгоритмы, не углубляясь в базовые математические вычисления, понимание основ поможет вам быстро приступить к работе и обеспечить надежную основу для построения.

Дальнейшие действия