Kuantum bilişimi için doğrusal cebir

  • Makale

Doğrusal cebir, kuantum bilişiminin dilidir. Kuantum programları uygulamak veya yazmak için bunu bilmenize gerek olmasa da, kubit durumlarını, kuantum işlemlerini açıklamak ve bir dizi yönergeye yanıt olarak kuantum bilgisayarın ne yaptığını tahmin etmek için yaygın olarak kullanılır.

Kuantum fiziğinin temel kavramlarına aşina olmanın kuantum bilişimini anlamanıza yardımcı olması gibi, bazı temel doğrusal cebir bilgilerine sahip olmak da kuantum algoritmalarının nasıl çalıştığını anlamanıza yardımcı olabilir. En azından, vektörler ve matris çarpımı hakkında bilgi sahibi olmanız gerekir. Bu cebir kavramlarıyla ilgili bilgilerinizi tazelemeniz gerekiyorsa temel bilgileri kapsayan bazı öğreticiler aşağıda verilmiştir:

Kuantum bilişiminde vektörler ve matrisler

Kubit 1 veya 0 durumunda veya her ikisinin süper konumunda olabilir. Doğrusal cebir kullanılarak kubitin durumu vektör olarak tanımlanır ve tek bir sütun matrisi$\begin{bmatrix}\\ olan b \end{bmatrix}$ile temsil edilir. Kuantum durum vektöru olarak da bilinir ve ^2 + |b|^=2 1$ gereksinimini $||karşılaması gerekir.

Matrisin öğeleri, kubitin bir şekilde veya diğerini daraltma olasılığını temsil ediyor; $||^2$ sıfıra daraltma olasılığı ve $|b|^2$ ise bire daraltma olasılığı. Aşağıdaki matrislerin tümü, geçerli kuantum durum vektörlerini temsil eder:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} ve{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Kuantum işlemleri bir matrisle de temsil edilebilir. Bir kuantum işlemi bir kubite uygulandığında, bunları temsil eden iki matris çarpılır ve elde edilen yanıt, kubitin işlemden sonraki yeni durumunu temsil eder.

Matris çarpımı ile temsil edilen iki yaygın kuantum işlemi aşağıda verilmiştir.

İşlem X , Pauli matrisi $X$ ile temsil edilir,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

ile temsil edilir ve bir kubitin durumunu 0'dan 1'e (veya tam tersi) çevirmek için kullanılır. Örneğin,

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

İşlem H Hadamard dönüşüm $H$ ile temsil edilir,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 1\\&-1\end{bmatrix},$$

ile temsil edilir ve burada gösterildiği gibi, bir kubiti her iki duruma da çökme olasılığı olan bir süper konum durumuna sokar

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 1\\&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

$|^|2 b|^2 =|=\frac{1}{2}$öğesinin sıfıra daraltma olasılığının ve bir durumun aynı olduğuna dikkat edin.

Bir kuantum işlemini temsil eden matrisin tek bir gereksinimi vardır: Bir birim matris olmalıdır. Matrisin tersi, matrisin eşlenik devriğine eşitse bu bir birim matristir.

İki kubitli durumları temsil etme

Yukarıdaki örneklerde, bir kubitin durumu tek sütunlu bir matris $\begin{bmatrix}\\ (b \end{bmatrix}$) kullanılarak açıklanmıştır ve iki matris çarpılarak buna bir işlem uygulanmaktadır. Ancak kuantum bilgisayarlar birden fazla kubit kullanır, o halde iki kubitin birleşik durumunu nasıl açıklarsınız?

Not

Kuantum bilişiminin gerçek gücü, hesaplamalar gerçekleştirmek için birden çok kubitten yararlanmaktan gelir. Bu konuya daha ayrıntılı bir bakış için bkz. Birden çok kubit üzerindeki işlemler.

Her kubitin bir vektör alanı olduğunu ve bu nedenle doğrudan çarpılamayacaklarını unutmayın. Bunun yerine, tek tek vektör alanlarından yeni bir vektör alanı oluşturan ve simgesiyle $\otimes$ temsil edilen ilgili bir işlem olan bir tensor ürünü kullanırsınız. Örneğin, iki kubitin tensor ürünü b \end{bmatrix}$ ve $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ olarak $\begin{bmatrix}\\ hesaplanır

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\\ a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}=ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Sonuç, her öğenin bir olasılığı temsil ettiği dört boyutlu bir matristir. Örneğin, ac$ iki $kubitin 0 ve 0'a daraltma olasılığıdır, $ad$ 0 ve 1 olasılığıdır, vb.

Tek bir kubit durumu gibi, \\ bir b'nin $|\end{bmatrix}$ kuantum durumunu $\begin{bmatrix} temsil etmesi için^|2 + |b|^2 = 1$ gereksinimini karşılaması gerekir. İki kubitli $\begin{bmatrix} bir ac \\ ad \\ bc \\ bd\end{bmatrix}$, ac|^2 + ad|^2 + |bc|^2+ ||bd|^2 = 1$ gereksinimini $|karşılamalıdır.

Özet

Doğrusal cebir, kuantum bilişimini ve kuantum fiziğini açıklamaya yönelik standart dildir. Microsoft'un Quantum Development Kit içerdiği standart kitaplık, temel matematiği incelemeden gelişmiş kuantum algoritmaları çalıştırmanıza yardımcı olsa da, temel bilgileri anlamak hızlı bir şekilde başlamanıza ve temel almanız için sağlam bir temel sağlamanıza yardımcı olur.

Sonraki adımlar