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量子计算中的高级矩阵概念

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本文探讨了特征值、特征向量和指数的概念。 这些概念构成了一组基本的矩阵工具，这些工具用于描述和实现量子算法。 有关适用于量子计算的向量和矩阵的基础知识，请参阅 用于量子计算的线性代数 和 向量和矩阵。

特征值和特征向量

假设 $M$ 是一个方块矩阵，$v$ 是一个非全零向量（例如，所有项都等于 $0$ 的向量）。

向量 $v$ 是 $M$ 的一个特征向量（如果对于某个数 $c$，$Mv = cv$）。 整数 $c$ 是对应于特征向量 $v$ 的特征值。 一般来说，矩阵 $M$ 可以将某个向量转换为任何其他向量。 然而，特征向量是特殊向量，因为除了乘以一个数字之外，它将保持不变。 请注意，如果 $v$ 是一个特征值为 $c$ 的特征向量，则 $av$ 也是一个具有相同特征值的特征向量（对于任何非零的 $a$）。

例如，对于恒等矩阵，每个向量 $v$ 都是一个特征值为 $1$ 的特征向量。

另举一例，考虑一个对角矩阵$D$，它在对角线上只有非零项：

$$\begin{bmatrix}&d_1 0 & 0 \\ 0 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}。 $$

向量

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{ 和 }\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

是此矩阵的特征向量，特征值分别是 $d_1$、$d_2$ 和 $d_3$。 如果 $d_1$、$d_2$ 和 $d_3$ 是不同的数，则这些向量（及其倍数）就是矩阵 $D$ 的唯一特征向量。 通常，对角矩阵的特征值和特征向量是很容易读出的。 特征值是所有出现在对角线上的数字，它们各自的特征向量是单位向量，其中一个项等于 $1$，其余的项等于 $0$。

请注意，在上面的示例中，$D$ 的特征向量构成了 $3$ 维向量的基底。 基底是一组向量，这使得任何向量都可被编写为它们的线性组合。 更明确地说，如果对于某些数字 $a_1$、$a_2$ 和 $a_3$，任意向量 $v$ 可被编写为 $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$，则 $v_1$、$v_2$ 和 $v_3$ 构成了一个基底。

在量子计算中，基本上只会遇到两个矩阵：厄米特矩阵和酉矩阵。 回想一下，埃尔米特矩阵 (也称为自相邻) 是一个复方矩阵，等于其自己的复共乘转置，而单一矩阵是一个复方矩阵，其 逆向 等于其复共乘转置。

有一个称为光谱定理的一般结果，这意味着以下内容：对于任何隐士矩阵或单一矩阵 $M$，存在一个单一 $U$，因此 $=M U^\dagger D U$ 对于某些对角矩阵 $D$。 此外，D 的$对角线条目将是 M$ 的特征$值，U^\dagger$ 的$列将是相应的特征向$量。 这种分解称为 光谱分解 或 特征分解。

矩阵指数

矩阵指数也可以用指数函数的精确类比来定义。 矩阵 $A$ 的矩阵指数可表示为

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2！}+\frac{A^3}{3！}+\cdots$$

这很重要，因为量子力学时间演化是由厄密矩阵 $B$ 的酉矩阵 $e^{iB}$ 形式描述的。 出于此原因，执行矩阵指数是量子计算的一个基本部分，因此 Q# 提供了描述这些运算的内部例程。 实际上，在经典计算机上有许多计算矩阵指数的方法，一般来说，用数字逼近这样的指数是充满危险的。 请参阅 Cleve Moler and Charles Van Loan. "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix." SIAM review 20.4 (1978): 801-836 详细了解所涉及的挑战。

理解如何计算矩阵指数的最简单方法是通过该矩阵的特征值和特征向量。 具体而言，上面讨论的谱定理表明，对于每个厄密矩阵或酉矩阵 $A$，存在一个酉矩阵 $U$ 和一个对角矩阵 $D$，使 $A=U^\dagger D U$。 由于酉性的属性，可得出 $A^2 = U^\dagger D^2 U$，同样对于任何幂运算，得出 $p$$A^p = U^\dagger D^p U$。 如果将此代入运算符指数的运算符定义：

$$e^A= U^\dagger\left (\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2！}+\cdots\right) U=^\begin{bmatrix}\dagger\exp (D_{{11}) & 0 &\cdots&放大 器;0\\ 0 & \exp (D_{22}) &\cdots&放大 器;0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\exp (D_{ NN}) \end{bmatrix} U.$$

换而言之，如果你转换为矩阵 $A$ 的特征基底，则计算矩阵指数等效于计算矩阵特征值的普通指数。 由于量子计算中的许多操作涉及执行矩阵指数，因此这种转换为矩阵的特征基底以简化执行运算符指数的这一技巧会经常出现。 这是许多量子算法的基础，如将在本指南后面讨论的 Trotter–Suzuki 式量子模拟方法。

另一个有用的属性适用于 非卷积矩阵。 非卷积矩阵 $B$ 既是单一矩阵，也是隐士矩阵，即 $B=B^{-1}=B^\dagger$。 然后，卷积矩阵是一个平方矩阵，等于其自身的反转， $即 B^2=\mathbf{1}$。 通过将此属性应用于矩阵指数的上述扩展，将 $和 B 项组合在一起，并将 Maclaurin 的定理应用于余弦和正弦函数，标识$$\mathbf{1}$

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos (x) + iB\sin (x) $$

保留任何实际值 $x$。 此技巧特别有用，因为它允许你推理矩阵指数具有的操作，即使 B 的$维度指数很大，在 B$ 是渐变的特殊情况下$。$

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