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使用量子運算中的向量和矩陣

  • 發行項

對向量和矩陣的熟悉程度，是了解量子運算的關鍵。 量子運算的線性代數一文提供簡短的重新整理，以及想要深入瞭解的讀者，建議閱讀線性代數的標準參考，例如 Strang、G. (1993) 。線性代數 (3) 簡介。Wellesley、MA：Wellesley-Cambridge Press 或在線參考，例如線性代數。

向量

資料行向量 (或單純是向量) $v$ 的維度 (或大小) $n$ 是 $n$ 複數的集合，$(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ 排列成資料行：

$$v=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

向量 $v$ 的標準定義為 $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$。 向量稱為單位標準 (或者稱為單位向量)，如果其標準為 $1$。 向量伴隨$v$ 表示方法為 $v^\dagger$，並定義為下列資料列向量，其中 $*$ 表示共軛複數，

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&放大器;v_n^*\end{bmatrix}$$

請注意，資料行向量 $v$ 和資料列向量 $v^\dagger$ 之間有差異。

內積

您可以透過內積 (也稱為點積或純量積) 將兩個向量相乘。 顧名思義，兩個向量的內積結果是純量。 內積可將一個向量投射到另一個向量，而且對於描述如何以其他更簡單的向量總和來表達一個向量很有用。 兩個資料行向量 $u=(u_1 , u_2 , \ldots , u_n)$ 與 $v=(v_1 , v_2 , \ldots , v_n)$ 之間的內積 (表示方法為 $\left\langle u, v\right\rangle$) 定義為

$$\left\langleu， v u^\dagger v=\right\rangle=\begin{bmatrix} u_1^* & \cdots&放大器;u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^{*} v_1 + \cdots _n^{*} v_n。\\\begin{bmatrix} $$

此標記法也可讓向量 $v$ 的標準撰寫為 $\sqrt{\langle v, v\rangle}$。

向量可乘以數字 $c$ 來形成新的向量，其項目會乘以 $c$。 您也可以新增兩個向量 $u$ and $v$ 來形成新向量，其項目為 $u$ 與 $v$ 項目的總和。 這些作業如下：

$$\mathrm{If}~u =\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{and}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},~\mathrm{then}~ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}. $$

大小 $m \times n$ 的 matrix 是以 $m$ 資料列和 $n$ 資料行排列的複數集合 $mn$，如下所示：

$M =\begin{bmatrix} M_{11}~~{ M_{12}~~\cdots~~ M_{1n}\\ M_~~{{21} M_~~{22}{\cdots~~ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn。}\\\end{bmatrix}$

請注意，維度 $n$ 的向量只是大小 $n \times 1$ 的矩陣。 如同向量，矩陣可乘以數字 $c$ 來取得新的矩陣，其中每個項目都與 $c$ 相乘，而且可以加入相同大小的兩個矩陣，以產生新的矩陣，其項目是兩個矩陣個別項目的總和。

矩陣乘法

您也可以將 $m\times n$ 維度的 $M$ 和 $n \times p$ 維度的 $N$ 兩個矩陣，以取得維度 $m \times p$ 的新矩陣 $P$，如下所示：

$$\begin{\begin{align}&放大器;\begin{bmatrix}{~~{11}{\cdots{12}~~~~ M_ M_ M_1n}\\ M_~~~~{~~{21}\cdots{22}{ M_ M_{2n{\ddots\\}\\ M_m1{}~~ M_m2 M_m2{~~\end{bmatrix}{12}~~\begin{bmatrix}\cdots~~{\cdots~~}{~~}{11} N_ N_ N_1p N_ N_2 N_{22}~~{~~\cdotsp{21}{}\\\ddots\\~~{}\\ N_n1}~~ N_{n2\cdots}~~~~ N_np}~~\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{11}{ P_ P_{{12}~~\cdots~~{P_1p P_~~{{21} P_~~{\cdots{22}~~ P_{2p}\\}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

其中 $P$ 的項目是 $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$。 例如，項目 $P_{11}$ 的第一個資料列 $M$ 的內乘，第一個資料行是 $N$。 請注意，因為向量只是矩陣的特殊案例，所以這個定義會延伸至矩陣向量乘法。

我們所考慮的所有矩陣都是平方矩陣，其中資料列和資料行的數目相等，或僅對應至 $1$ 個資料行的向量。 其中一個特殊平方矩陣是識別 矩陣，表示 $\mathbb{\mathbb{I}$，其所有對角專案都等於 $1$ ，其餘元素等於 $0$：

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0 0\cdots~~~~ 0 ~~\\ 1~~~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 。\end{bmatrix}$

若是平方矩陣 $A$，如果$AB = BA\mathbb{\mathbb{I}$=，矩陣 $B$ 會是反轉矩陣。 不需要矩陣的反向，但當其存在時，就表示其是唯一的，我們將其表示為 $A^{-1}$。

對於任何矩陣 $M$，$M$ 的伴隨或共軛轉置是矩陣 $N$，因此 $N_{ij}= M_{ji}^*$。 $M$ 的伴隨通常會表示為 $M^\dagger$。 如果 UU^ U^ U^ U\mathbb{I}$=或\dagger\dagger=相當於 $U^={{-1} U^，則矩陣 $U$ 為\dagger$單位。$ 么正矩陣的一個重要屬性是其會保留向量的標準。 發生這種情況的原因是

$\langlev，v\rangle=^ v^ v^\dagger= U{-1}^\dagger u v=^ U v^\dagger\dagger U v =\langle v， U v.\rangle$

如果 $M=M^\dagger$，則矩陣 $M$ 會視為 Hermitian。

張量積

另一項重要的作業是克羅內克積，也稱為矩陣直積或張量積。 請注意，克羅內克積可與矩陣乘法區別，這是完全不同的作業。 在量子運算理論中，張量積通常用來代表克羅內克積。

請考慮兩個向量 $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 和 $u =\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}$。 其張量積會表示為 $v \otimes u$，並產生區塊矩陣。

$$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d \\ e\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ a e \\ b c \\ b d \\ 為\end{bmatrix}$$

請注意，張量積是兩個矩陣或任意大小向量的作業。 大小 $m\times n$ 的 $M$ 和大小 $p \times q$ 的 $N$ 兩個矩陣的張量積，是大小 $mp \times nq$ 的較大矩陣 $P=M\otimes N$，可從 $M$ 和 $N$ 取得，如下所示：

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~{11}~~\cdotsM_ M_{1n}\ddots\\\\ M_m1~~\cdots}~~ M_{{mn\begin{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}} N_~~~~{11}\cdots{ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix}{{11}\begin{bmatrix} M_ N_~~\cdots{~~{11} N_{1q N_ N_pq}~~\cdots~~ M_{{1n\begin{bmatrix}\cdots}~~{{11}~~ N_ N_ N_\end{bmatrix}~~{\cdots~~}{1q}\\}\\\ddots\\\ddots\\ N_p1 N_pq~~\cdots{}\end{bmatrix}\\\ddots\\~~{} M_m1}\cdots{~~\begin{bmatrix}~~\cdots{{11}~~~~} N_ N_1q}\\{\ddots\\ N_pq1 N_{pq~~\cdots}\end{bmatrix}~~ M_{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq。}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

這更能透過範例示範：$$a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimese\ f g\ h=\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\begin{bmatrix} e\ f\\\\ g\ h b\begin{bmatrix} e\\\ f g\ h \end{bmatrix}\end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f g\ h d\begin{bmatrix} e\ f\\\\ g\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=\end{bmatrix}ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

關於張量積的最後一個實用標記慣例，就是針對任何向量 $v$ 或矩陣 $M$，$v^{\otimes n}$ 或 $M^{\otimes n}$ 都是對 $n$ 重重複張量積的簡寫。 例如：

\begin{align}&放大器;\begin{bmatrix}1 \\ 0 ^ 1 1}\\\begin{bmatrix}= 0 \end{bmatrix}， \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0{\otimes\end{bmatrix}^{\otimes 2\begin{bmatrix}}= 1 \\ 0 \\0 \\\end{bmatrix}， \qquad\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}{\otimes\\ -1 ^ 2}\begin{bmatrix}=\\ 1 -1 -\\\end{bmatrix}\\1 1 ，&\\ amp; 0 \\&&\end{bmatrix}amp;\begin{bmatrix} 1 1 amp; 0 ^{\otimes}=\begin{bmatrix} 1 0&\\& amp; 1 1 amp; 0 \end{bmatrix}， \qquad\begin{bmatrix} 0 & 1 1 1&\\ amp; 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 0 &\end{bmatrix}0&0&1 \\ 0 &0&1&0 \\ 0 &1&0&0\\ 1 &0&0&0\end{bmatrix}. \end{align}

後續步驟