Dirac-jelölés

Cikk
04/18/2024

A Dirac-jelölés egy olyan nyelv, amelyet a kvantummechanikában az állapotok kifejezésének pontos igényeihez terveztek. A cikkben szereplő példák olyan javaslatok, amelyek a kvantumeszmék tömör kifejezésére használhatók.

Az oszlopvektor jelölésének korlátozásai

Bár az oszlopvektor-jelölés gyakori a lineáris algebra esetében, a kvantum-számítástechnikában gyakran nehézkes, különösen több qubit esetén. Ha például vektorként definiálja $\psi$ , nem egyértelmű, hogy sor- vagy oszlopvektorról van-e $\psi$ szó. Tehát, ha $\phi$ és $\psi$ vektorok, akkor ugyanolyan nem egyértelmű, ha\psi$$\phimég meg is van adva, mert a és $\psi$ az alakzatok $\phi$ nem egyértelműek a kontextusban. A vektorok alakzatainak kétértelműségén túl a lineáris algebrai jelölést használó egyszerű vektorok kifejezése is nehézkes lehet. Ha például egy $n-qubit$ állapotot szeretne leírni, ahol az egyes qubitek a 0$ értéket $választják, akkor az állapotot formálisan a következőképpen fejezné ki:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

A tenzor termék kiértékelése nem praktikus, mert a vektor exponenciálisan nagy térben rejlik. Ezért ez a jelölés valójában az előző jelöléssel adható állapot legjobb leírása.

Vektortípusok a Dirac-jelölésben

A Dirac-jelölésben két vektortípus létezik: a melltartóvektor és a ket vektor, így elnevezve, mert ha össze vannak adva, fékező vagy belső terméket alkotnak. Ha $\psi$ egy oszlopvektor, akkor a Dirac-jelölésben megírhatja a következőt: $\ket{\psi}$, ahol a $\ket{\cdot}$ azt jelzi, hogy egységoszlopvektor, például egy ket vektor. Hasonlóképpen a( z) ^\dagger$ sorvektor $\psia következőképpen van kifejezve$\bra{\psi}$: . Más szóval a $\psi^\dagger$ a transzponálás $\psi$elemeire való belépési szintű összetett konjugáció alkalmazásával érhető el. A bra-ket jelölés közvetlenül azt jelenti, hogy $\braket{\psi|\psi}$ a vektor $\psi$ belső terméke önmagával, ami definíció szerint $1$.

Általánosabban, ha $\psi$ és $\phi$ kvantumállapot-vektorok, akkor a belső termékük a $\braket{\phi|\psi}$. Ez a belső termék azt jelenti, hogy az állapot $\ket{\psi}$ mérésének $\ket{\phi}$$|\braket{\phi|\psi}|valószínűsége ^2$.

A következő konvenció a nulla és egy értékek (az egy qubites számítási alapállapotok) értékeit kódoló kvantumállapotok leírására szolgál:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}{0}\ket{=,\qquad\begin{bmatrix} 0 \\ 1 .\end{bmatrix}=\ket{{1} $$

Példa: A Hadamard-művelet dirac jelöléssel való ábrázolása

Az alábbi jelölést gyakran használják a Hadamard-kapu és a -ra való alkalmazásából eredő állapotok leírására $\ket{0}$$\ket{1}$. Ezek az állapotok a Bloch-gömb +x$ és $-x$ irányában $lévő egységvektoroknak felelnek meg:

$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{=\ket{0}+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1=\end{bmatrix} H .\ket{{1}=\ket{{-} $$

Ezek az állapotok a Dirac-jelöléssel is bővíthetők a és $\ket{1}$az $\ket{0}$ összegeként:

$$\ket{+}={1}{\sqrt{2}}\frac{(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\frac{={1}{\sqrt{\ket{{2}}{-}(\ket{{0} - ). \ket{1} $$

Számítási alapvektorok

Ez azt mutatja be, hogy ezeket az állapotokat miért nevezik gyakran számítási alapnak: minden kvantumállapot mindig számítási alapvektorok összegeként fejezhető ki, és az ilyen összegek egyszerűen kifejezhetők Dirac-jelöléssel. A converzum abban is igaz, hogy az állapotok $\ket{+}$ és $\ket{-}$ a kvantumállapotok alapjául is szolgálnak. Ez abból a tényből látható, hogy

$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}),\qquad\frac{{1}{\sqrt{=\ket{{1}{2}}(\ket{+} - ). \ket{-} $$

A Dirac-jelölés példájaként vegye figyelembe a 0 1 féket$\braket{, amely a 0$ és $1$ közötti $belső termék.}$| Megírható

$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}=0. $$

Ez a példa azt mondja, hogy $\ket{{0}$ és $\ket{{1}$ ortogonális vektorok, ami azt jelenti, hogy $\braket{0 | 1}=\braket{1 | 0 0.}=$ Emellett a definíció szerint $\braket{0 0 |\braket{=}1 | 1}=1$, ami azt jelenti, hogy a két számítási alapvektort ortonormálisnak is nevezhetjük.

Ezeket az ortopédiai tulajdonságokat az alábbi példában használjuk. Ha van egy állapota $\ket{\psi}{\frac{3}{5}}={1}\ket{+\ket{0}${4}{5}}{\frac{ , akkor mivel $\braket{1 | 0 0=$} az 1$ mérésének valószínűsége $

$$\big|\braket{1 |^2\left|\frac{{3}{5}\braket{=1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2{25}=\frac{{9}{.\psi}\big| $$

Tensor-termék jelölése

A dirac jelölés egy implicit tenzoros termékstruktúrát is tartalmaz. Ez a struktúra azért fontos, mert a kvantum-számítástechnikában a két nem korrelált kvantumregisztrációs regiszter által leírt állapotvektor a két állapotvektor tenzorterméke. A tenzor termékszerkezetének vagy annak hiányának tömör leírása elengedhetetlen, ha egy kvantumszámítást szeretne elmagyarázni. A tenzoros termékstruktúra azt jelenti, hogy bármelyik két kvantumállapot-vektorhoz $\phi$ írhat$\psi\otimes\phi$, és $\psi$ a következőként: .$\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$ Azonban konvenció szerint a vektorok közötti írás $\otimes$ szükségtelen, és megírhatja\ket{\psi$$\ket{\psi}\ket{\phi}=\phi} a következőt: . A vektorokról és a tenzortermékekről további információt a Vektorok és mátrixok a Kvantum-számítástechnikában című témakörben talál. A nulla állapotba inicializált két qubitet tartalmazó állapot például a következő:

$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Hasonlóképpen, a p$ egész szám p $}$ állapota $\ket{egy kvantumállapotot jelöl, amely bináris reprezentációban kódolja a p egész számot$$. Ha például egy aláíratlan bináris kódolással szeretné kifejezni az 5-ös$ számot$, ugyanúgy kifejezheti azt, mint

$$\ket{1}\ket{0}\ket{1}=\ket{101}=\ket{5}. $$

Ebben a jelölésben nem egy qubites állapotra kell hivatkoznia, $\ket{0}$ hanem egy 0$ bináris kódolást $tároló qubitregisztrációra. A két jelölés közötti különbségek egyértelműek a kontextusból. Ez a konvenció az első példa egyszerűsítéséhez hasznos, amely a következő módok bármelyikével írható:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0{0}\ket{\otimes\cdots|=\end{bmatrix}\otimes\ket{0}= 0\cdots 0=\ket{\rangle{0}^ n{\otimes}$$

ahol $\ket{0}a ^{\otimes n}$ az n$$\ket{0}$ kvantumállapotok tenzor szorzatát $jelöli.

Példa: Szuperpozíció leírása Dirac-jelöléssel

Egy másik példa arra, hogyan használhatja a Dirac-jelölést egy kvantumállapot leírására, fontolja meg az alábbi egyenértékű módszereket egy olyan kvantumállapot írására, amely egyenlő szuperpozíció minden lehetséges n hosszúságú $bitsztring felett$

$$H^{\otimes n}=\frac{1}{\ket{0}2^{n/2\sum}}_{j=0}^{2^n-1\ket{}j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$

Itt felmerülhet a kérdés, hogy az összeg miért 0$ és 2^{n-1}$ között van az n$ bitek esetében$.$$ Először is vegye figyelembe, hogy $az n$ bitek 2^{n}$ különböző konfigurációt $használhatnak. Ezt úgy tekintheti meg, hogy egy bit 2$ értéket vehet fel$, de két bit 4$ értéket és $így tovább. Ez általában azt jelenti, hogy 2^n$ különböző lehetséges bitsztring van$, de a legnagyobb kódolt érték bármelyikben $1 1\cdots= 2^n-1$, ezért ez az összeg felső korlátja. Mellékes megjegyzésként ebben a példában nem használta $\ket{a +}^{\otimes n+}$ függvényt a ^{\otimesn-hez}={0}$}=\ket{$\ket{{0}\ket{ hasonló módon. Ez a jelölési konvenció a számítási alapállapot számára van fenntartva, és minden qubit nullára van inicializálva. Bár egy ilyen konvenció ebben az esetben ésszerű, a kvantum-számítástechnika szakirodalomban nem alkalmazzák.

Express linearitás Dirac-jelöléssel

A Dirac-jelölés egy másik jellemzője, hogy lineáris. Például két összetett számhoz $\alpha$ és $\beta$

$$\ket{\psi}\otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$

Ez azt jelenti, hogy eloszthatja a tenzor termék jelölését a Dirac-jelölésben, hogy a tenzortermékeket az állapotvektorok között úgy kelljen elosztani, mint a szokásos szorzást.

A bravektorok a ket vektorokhoz hasonló konvenciót követnek. A vektor $\bra{\psi}\bra{\phi}$ például egyenértékű a(z) ^\otimes\phi\dagger^\dagger=(\psi\otimes\phi)^állapotvektorral.$\psi\dagger$ Ha a ket vektor $\ket{\psi}$$\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, akkor a vektor $\bra{\psi}=\ket{\psi}bra vektorverziója ^\dagger= ({0}\alpha\bra{^* +\bra{1}\beta^*).$

Tegyük fel például, hogy ki szeretné számítani az állapot + \frac{4}{5}az állapot\frac{3}{5}$\ket{\psi}=\ket{{1} mérésének valószínűségét egy kvantumprogrammal az állapotok +}$ vagy $\ket{{-}$értékre való méréséhez.$\ket{\ket{0}$ Ezután annak a valószínűsége, hogy az eszköz kimenete az állapot $\ket{-}$

$$|\braket{- |^2\left|\frac{={1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} -{1}\bra{ )(\frac{3}{5}{1}\ket{ +{4}{5}\frac{\ket{0} ) \right|^2-5=\left|{2}}\frac{3}{\sqrt{ +{4}{\frac{ 5\sqrt{2}}\right|^2.=\frac{{1}{{50}\psi}|$$

Az a tény, hogy a negatív jel megjelenik a valószínűség kiszámításában, a kvantum-interferencia megnyilvánulása, amely az egyik olyan mechanizmus, amellyel a kvantum-számítástechnika előnyt élvez a klasszikus számítástechnikával szemben.

ketbra vagy külső termék

A Dirac-jelölésben a végső tétel a ketbra vagy a külső termék. A külső termék dirac jelölésekben $\ket{\psi}\bra{\phi}$, és néha ketbra néven jelenik meg, mert a melltartók és a ketek ellentétes sorrendben fordulnak elő fékekként. A külső termék mátrix-szorzáson keresztül van meghatározva^ értékként $\ket{\psi}\psi=\phi\bra{\phi}a kvantumállapot-vektorok $\psi$ és $\phi$a esetében.\dagger$ Ennek a jelölésnek a legegyszerűbb és vitathatóan leggyakoribb példája a

$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\bra{1}=\qquad\ket{1}\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$

A ketbrákat gyakran projektoroknak is nevezik, mert egy kvantumállapotot rögzített értékre vetnek. Mivel ezek a műveletek nem egységesek (és nem is őrzik meg a vektorok normáit), a kvantumszámítógépek nem alkalmazhatnak determinisztikusan kivetítőt. A projektorok azonban gyönyörűen írják le a mérés kvantumállapoton végzett műveletét. Ha például egy állapotot $\ket{\psi}$ 0-ra $$mér, akkor az eredményként kapott átalakítás, amelyet az állapot a mérés eredményeként tapasztal,

$$\ket{\psi}\rightnyíl \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$

ahogy azt várta, ha az állapotot mérte, és a következőnek $\ket{0}$találta: . Megismétlendő, hogy az ilyen kivetítők determinisztikusan nem alkalmazhatók kvantumszámítógépek állapotára. Ehelyett a legjobb esetben véletlenszerűen alkalmazhatók, ha az eredmény $\ket{0}$ bizonyos rögzített valószínűséggel jelenik meg. Az ilyen mérések sikerességének valószínűsége megírható a kvantumprojektor várható értékeként az állapotban

$$\bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}|=|\braket{\psi 0}|^2,$$

amely azt mutatja, hogy a kivetítők új módot adnak a mérési folyamat kifejezésére.

Ha inkább egy több qubites állapot első qubitjének 1-et $$kell mérnie, akkor ezt a folyamatot is kényelmesen leírhatja kivetítőkkel és Dirac-jelöléssel:

$$P(\text{első qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$

Itt az identitásmátrix kényelmesen megírható Dirac-jelölésként

$$\mathbf{1}=\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\begin{bmatrix}\bra{{1}=1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$

Abban az esetben, ha két qubit van, a kivetítő kibontható

$$\ket{1}\bra{1}\otimes\id=\ket{{1}\bra{1}\otimes(\ket{{0}{0}\bra{+\ket{1}{1}\bra{)={10}\ket{10}\bra{ + . \ket{{11}\bra{{11} $$

Ezután láthatja, hogy ez összhangban van a többkettős állapotok oszlopvektor-jelölést használó mérési valószínűségével kapcsolatos vitával:

$$P(\text{első qubit = 1})\psi=^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{11}{^\dagger)|\psi=e_{10}{^\psi|\dagger^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$

amely megfelel a több qubites mérési vitafórumnak. Ennek az eredménynek a multi-qubites esetre történő általánosítása azonban valamivel egyszerűbb a Dirac-jelöléssel való kifejezéshez, mint az oszlopvektor-jelölés, és teljes mértékben egyenértékű az előző kezeléssel.

Sűrűség operátorok

Egy másik hasznos operátor a Dirac-jelölés használatával történő kifejezéshez a sűrűség operátor, más néven állapotoperátor. A kvantumállapot-vektorként a sűrűségoperátor egy rendszer kvantumállapotát írja le. Bár a kvantumállapot-vektorok csak tiszta állapotokat képviselhetnek, a sűrűségoperátorok vegyes állapotokat is képviselhetnek.

Általánosságban elmondható, hogy egy adott \rho$ mátrix $érvényes sűrűségoperátor, ha a következő feltételek teljesülnek:

$A \rho$ összetett számok mátrixa
$\rho = \rho^{\dagger}$ (azaz $\rho$ remitianus)
Minden eigenvalue $p$ \ $rho$ értéke $0 <= p <= 1$
A \rho$ összeg összes eigenvalues értéke $1-nek

Ezek a feltételek együttesen garantálják, hogy $a \rho$ együttesnek tekinthető. A kvantumállapot-vektor $\ket{\psi}$ sűrűségi operátora a \rho\sum= _i p_i \ket{\psi_i\bra{\psi}_i}$$a \rho$ eigenvalue felbontása$, majd $a \rho$ a \rho{=\ket{\psi _i}\text{együttest $írja le valószínűségi} p_i.}$

A tiszta kvantumállapotok azok, amelyeket egyetlen ketvektor vagy hullámfüggvény jellemez, és nem írhatók más kvantumállapotok statisztikai keverékeként (vagy konvex kombinációjáként). A vegyes kvantumállapot a tiszta állapotok statisztikai együttese.

A Bloch-gömbön a tiszta állapotokat a gömb felszínén lévő pont jelöli, míg a vegyes állapotokat egy belső pont képviseli. Egy qubit vegyes állapotát a gömb középpontja, szimmetria jelöli. Az állapot tisztasága úgy jeleníthető meg, mint az a fok, amelyben közel van a gömb felszínéhez.

Az állapot mátrixként való ábrázolásának ez a fogalma gyakran kényelmes, mivel kényelmes módot ad a valószínűségszámítások megjelenítésére, és lehetővé teszi a statisztikai bizonytalanság és a kvantumbizonytalanság leírását is ugyanazon a formalizmuson belül.

A \rho$ sűrűségoperátor $tiszta állapotot jelöl, ha és csak akkor, ha:

$A \rho egy \rho$ állapotvektor $külső termékeként írható=\ket{\psi}\bra{\psi}$
$\rho =\rho^2$
$tr(\rho^2)=1$

Annak megállapításához, hogy egy adott sűrűségoperátor $(\rho$) milyen közel van ahhoz, hogy tiszta legyen, megnézheti a \rho^2$ nyomvonalát $(azaz az átlós elemek összegét). A sűrűségoperátor tiszta állapotot jelöl, ha és csak akkor, ha $tr(\rho ^{2})=1$.

Q# kvantumállapotokkal egyenértékű kapuütemezések

Egy utolsó pont, amelyet érdemes kiemelni a kvantum jelöléséről és a Q# programozási nyelvről: a dokumentum elején említettük, hogy a kvantumállapot a kvantum-számítástechnika alapvető információobjektuma. Meglepő lehet, hogy Q# a kvantumállapot fogalma nem létezik. Ehelyett minden állapotot csak az előkészítéshez használt műveletek írnak le. Az előző példa ennek kiváló illusztrációja. Ahelyett, hogy egységes szuperpozíciót ad meg egy regiszter minden kvantumbitsztringje felett, az eredményt H^{\otimes n}\ket{0}$ értékként $jelölheti. Az állapot exponenciálisan rövidebb leírása nem csupán azzal az előnnyel jár, hogy ezt klasszikusan meg lehet indokolni, hanem tömören meghatározza azokat a műveleteket is, amelyeket az algoritmus implementálásához a szoftververemen keresztül kell propagálni. Ezért úgy tervezték, Q# hogy kvantumállapotok helyett kapuütemezéseket bocsát ki; elméleti szinten azonban a két perspektíva egyenértékű.

Megosztás a következőn keresztül: