Algebra lineare per il calcolo quantistico

  • Articolo

Il linguaggio del calcolo quantistico è l'algebra lineare. Sebbene non sia necessario conoscerla per implementare o scrivere programmi quantistici, è ampiamente usata per descrivere gli stati dei qubit, le operazioni quantistiche e per prevedere ciò che un computer quantistico esegue in risposta a una sequenza di istruzioni.

Come la conoscenza dei concetti di base della fisica quantistica può aiutare a comprendere il calcolo quantistico, alcune informazioni di algebra lineare di base consentono di comprendere il funzionamento degli algoritmi quantistici. Come minimo, è opportuno acquisire familiarità con vettori e moltiplicazione di matrici. Se è necessario aggiornare la conoscenza di questi concetti di algebra, di seguito sono riportate alcune esercitazioni sulle nozioni di base:

Vettori e matrici nel calcolo quantistico

Un qubit può essere in stato 1 o 0 o una sovrapposizione di entrambi. Usando l'algebra lineare, lo stato di un qubit viene descritto come vettore ed è rappresentato da una singola matrice$\begin{bmatrix} di colonne a \\ b \end{bmatrix}$. È noto anche come vettore di stato quantistico e deve soddisfare il requisito che $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Gli elementi della matrice rappresentano la probabilità del qubit che si collassa in un modo o nell'altro, con $|una|^2 che rappresenta la probabilità di collassare su zero e $|b|^2$$ è la probabilità di confronto con uno. Le matrici seguenti rappresentano tutte vettori di stato quantistico validi:

$$\begin{bmatrix}1 0 , 0 \end{bmatrix}\\ 1 \\\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} ,{2}}\\\frac{{1}{\sqrt{2}}{1}{\sqrt{2}}\frac{\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{ e{2}}\frac{1}{\sqrt{\text{}\begin{bmatrix}\frac{\\-i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Le operazioni quantistica possono essere rappresentate anche da una matrice. Quando un'operazione quantistica viene applicata a un qubit, le due matrici che li rappresentano vengono moltiplicate e la risposta risultante rappresenta il nuovo stato del qubit dopo l'operazione.

Di seguito sono riportate due operazioni quantistiche comuni rappresentate dalla moltiplicazione di matrici.

L'operazione X è rappresentata dalla matrice $Pauli X$,

$$X =\begin{bmatrix} 0 amp; 1 \\& 0 &\end{bmatrix},$$

e viene usata per capovolgere lo stato di un qubit da 0 a 1 (o viceversa), ad esempio

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\& 0 1 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\\\end{bmatrix}$$

L'operazione H è rappresentata dalla trasformazione $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 amp;1\\&\end{bmatrix},$$

e colloca un qubit in uno stato di sovrapposizione in cui presenta pari probabilità di collassare in un modo o nell'altro, come illustrato qui

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ 1 1 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 1 \\\end{bmatrix}.$$

Si noti che a|^2 b|^2 =|\frac{1}{2}$=, significa che $|la probabilità di confronto su zero e uno stato è lo stesso.

Una matrice che rappresenta un'operazione quantistica prevede un requisito, ovvero deve essere una matrice unitaria. Una matrice è unitaria se l'inversa della matrice è uguale alla trasposta coniugata della matrice.

Rappresentazione di stati a due qubit

Negli esempi precedenti lo stato di un qubit è stato descritto usando una singola matrice $\begin{bmatrix} di colonna b \\\end{bmatrix}$e applicando un'operazione a essa descritta moltiplicando le due matrici. Tuttavia, i computer quantistici usano più di un qubit, quindi come si descrive lo stato combinato di due qubit?

Nota

La potenza reale del calcolo quantistico deriva dall'uso di più qubit per eseguire calcoli. Per un approfondimento su questo argomento, vedere Operazioni su più qubit.

Tenere presente che ogni qubit è uno spazio vettoriale, quindi non può essere semplicemente moltiplicato. Si usa invece un prodotto tensore, ovvero un'operazione correlata che crea un nuovo spazio vettore da singoli spazi vettoriali e viene rappresentato dal $\otimes$ simbolo. Ad esempio, viene calcolato il prodotto tensore di due stati $\begin{bmatrix} qubit a \\ b \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes\\ c d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=\\\begin{bmatrix} c d c ac ad \\\\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Il risultato è una matrice quadridimensionale, con ogni elemento che rappresenta una probabilità. Ad esempio, $ac$ è la probabilità dei due qubit in confronto a 0 e 0, $l'annuncio$ è la probabilità di 0 e 1 e così via.

Come uno stato $\begin{bmatrix} qubit singolo deve \\ soddisfare il requisito che $|a|^2 + |b|\end{bmatrix}$^2 = 1$ per rappresentare uno stato quantistico, uno stato $\begin{bmatrix} a due qubit ac \\\\ ad bc bd deve soddisfare il requisito che $|ac|^2 + ad|^2 + bc\\^2 + |bc|^2+ ||bd|\end{bmatrix}$^2 =$1.

Summary

L'algebra lineare è il linguaggio standard per la descrizione del calcolo quantistico e della fisica quantistica. Anche se la libreria standard inclusa in Microsoft Quantum Development Kit consente di eseguire algoritmi quantistici avanzati senza immergersi nella matematica sottostante, la comprensione delle nozioni di base consente di iniziare rapidamente e fornire una base solida per la compilazione.

Passaggi successivi