IEEE 浮点表示形式

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Microsoft C++ (MSVC) 与 IEEE 数值标准保持一致。 IEEE-754 标准描述浮点格式，这是一种在硬件中表示实数的方法。 浮点数至少有五种在 MSVC 编译器的目标硬件中是可表示的内部格式。 编译器只使用其中两种格式。 MSVC 中使用单精度（4 字节）和双精度（8 字节）格式。 单精度使用关键字 float 进行声明。 双精度使用关键字 double 进行声明。 IEEE 标准还规定了半精度（2 字节）和四倍精度（16 字节）格式以及双扩展精度（10 字节）格式（一些 C 和 C++ 编译器将其作为 long double 数据类型实现）。 在 MSVC 编译器中，long double 数据类型被视为独特的类型，但存储类型映射到 double。 不过，对于使用其他格式（包括硬件支持的双扩展精度格式）的计算，存在固有的汇编语言支持。

这些值按如下格式存储：

值 存储格式
单精度 (single-precision) 符号位，8 位指数，23 位有效数
双精度 符号位，11 位指数，52 位有效数

在单精度和双精度格式中，假定在小数部分中有前导 1。 小数部分称为“有效数字”（有时亦称为“尾数”）。 这个前导 1 没有存储在内存中，所以有效数字实际上是 24 或 53 位，尽管少存储了 1 位。 扩展双精度格式实际存储此位。

指数的偏差是其可能值的一半。 也就是说，用存储的指数减去此偏差就得到了实际指数。 如果存储的指数小于此偏差，则实际为负指数。

指数偏差如下所示：

指数 偏差
8 位（单精度） 127
11 位（双精度） 1023

这些指数不是 10 的幂；而是 2 的幂。 也就是说，存储的 8 位指数的范围为 -127 到 127，并存储为 0 到 254。 值 2127 大约等于 1038，这是单精度的实际极限。

有效数以 1.XXX... 的形式存储为二进制分数。 此分数的值大于或等于 1 且小于 2。 实数始终以规范化形式存储。 也就是说，有效数字左移，使得有效数字的高阶位始终为 1。 由于此位始终是 1，因此假定采用单精度和双精度格式（但不存储）。 假设二进制（而不是十进制）小数点刚好位于前导 1 的右侧，

浮点的表示格式如下所示：

格式 字节 1 字节 2 字节 3 字节 4 ... 字节 n
单精度 (single-precision) SXXXXXXX XMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
双精度 SXXXXXXX XXXXMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM ... MMMMMMMM

S 表示符号位，X 是偏差的指数位，M 是有效数位。 最左边的位假定采用单精度和双精度格式。

若要正确移动二进制小数点，首先要取消指数偏差，然后将二进制小数点向右或向左移动适当的位数。

特殊值

浮点格式包括一些被特殊对待的值。

零

0 无法规范化，导致它不能以单精度或双精度值的规范化形式表示。 全零的特殊位模式表示 0。 也可以通过设置符号位将 -0 表示为零，但 -0 和 0 的比较结果始终为相等。

无穷大

+∞ 和 −∞ 值由全是 1 的指数和全是 0 的有效数字表示。 正负用符号位表示。

次正规数

可以用规范化形式表示比最小的数更小的数量级。 这些数字称为次规范数或非规范数。 如果指数为全零且有效数不为零，则有效数的隐式前导位被视为 0，而不是 1。 次正规数的精度随有效数中前导零数量的增加而下降。

NaN - 非数

可以使用 IEEE 浮点格式表示不是实数的值（如 0/0）。 这种值称为 NaN。 NaN 由一个全 1 的指数和一个非 0 的有效数表示。 NaN 有两种：quiet NaN (QNaN) 和 signaling NaN (SNaN)。 Quiet NaN 在有效数字中有前导 1，并且通过表达式传播。 它们表示不定值，例如除以无穷大或将无穷大乘以零的结果。 Signaling NaN 在有效数字中有前导 0。 它们用于无效的操作，以发出浮点硬件异常的信号。

示例

以下是单精度格式的一些示例：

  • 对于值 2，符号位为 0。 存储的指数为 128 或二进制的 1000 0000（即 127 + 1）。 存储的二进制有效数为 (1.)000 0000 0000 0000 0000 0000，它具有隐含的前导 1 和二进制小数点，因此实际有效数为 1。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    2 1 * 21 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0x40000000

  • 值 -2。 除已设置符号位外，与 +2 相同。 所有 IEEE 格式浮点数的负数也是如此。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    -2 -1 * 21 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0xC0000000

  • 值 4。 有效数相同，指数加 1（偏差值为 129，在二进制中为 100 0000 1）。

    值 公式 二进制表示形式 十六进制
    4 1 * 22 0100 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0x40800000

  • 值 6。 指数相同，有效数字要大一半。 它是 (1.)100 0000 ...0000 0000，它是 1 1/2，因为它是小数位的值为 1/2、1/4、1/8 等的二进制分数。

    值 公式 二进制表示形式 十六进制
    6 1.5 * 22 0100 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0x40C00000

  • 值 1。 与 2 的其他幂的有效数相同，偏差指数为 2 的指数减 1，即 127（在二进制中为 011 1111 1）。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    1 1 * 20 0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0x3F800000

  • 值 0.75。 偏差指数为 126（在二进制中为 011 1111 0），有效数是 (1.)100 0000 ...0000 0000，即 1 1/2。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    0.75 1.5 * 2-1 0011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0x3F400000

  • 值 2.5。 与 2 完全相同，但表示 1/4 的位在有效数中已设置。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    2.5 1.25 * 21 0100 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0x40200000

  • 1/10 是二进制中的循环小数。 有效数字略小于 1.6，偏差指数表示 1.6 除以 16。 （二进制数是 011 1101 1，十进制数是 123。）真实指数为 123 - 127 = -4，这意味着乘数因子为 2-4 = 1/16。 存储的有效数字的最后一位进行四舍五入，以尝试尽可能准确地表示不可表示的数字。 （1/10 和 1/100 不能用二进制精确表示的原因类似于 1/3 不能用十进制精确表示的原因。）

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    0.1 1.6 * 2-4 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 1101 0x3DCCCCCD

  • 0 是一个特例。 它使用公式求出可表示的最小正值，即全为 0。

    值 Formula 二进制表示形式 十六进制
    0 1 * 2-128 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0x00000000

另请参阅

为何浮点数可能丢失精度