Operacje na wielu kubitach

  • Artykuł

W tym artykule opisano reguły używane do tworzenia stanów z wieloma kubitami z stanów pojedynczego kubitu i omawia operacje bramy potrzebne do uwzględnienia w zestawie bramek w celu utworzenia uniwersalnego komputera kwantowego z wieloma kubitami. Te narzędzia są niezbędne do zrozumienia zestawów bram, które są powszechnie używane w Q# kodzie. Są one również ważne, aby uzyskać intuicję, dlaczego efekty kwantowe, takie jak splątanie lub interferencja, sprawiają, że obliczenia kwantowe są bardziej zaawansowane niż obliczenia klasyczne.

Bramy z pojedynczym kubitem a bramami z wieloma kubitami

Prawdziwa moc obliczeń kwantowych staje się widoczna tylko w miarę zwiększania liczby kubitów. Pojedyncze kubity posiadają pewne funkcje intuicyjne, takie jak możliwość posiadania więcej niż jednego stanu w danym momencie. Jeśli jednak wszystko, co masz w komputerze kwantowym, to bramki z jednym kubitem, kalkulator i z pewnością klasyczny superkomputer będzie karzeł swoją moc obliczeniową.

Po części pojawia się moc obliczeniowa kwantowa, ponieważ wymiar przestrzeni wektorowej wektorów stanu kwantowego rośnie wykładniczo wraz z liczbą kubitów. Oznacza to, że podczas gdy pojedynczy kubit może być trywialnie modelowany, symulowanie pięćdziesiąt kubitów obliczeń kwantowych prawdopodobnie wypchnie limity istniejących superkomputerów. Zwiększenie rozmiaru obliczeń przez tylko jeden dodatkowy kubit podwoi pamięć wymaganą do przechowywania stanu i w przybliżeniu podwoi czas obliczeniowy . To szybkie podwojenie mocy obliczeniowej polega na tym, że komputer kwantowy z stosunkowo małą liczbą kubitów może znacznie przekroczyć najpotężniejsze superkomputery dzisiaj, jutro i poza nimi w przypadku niektórych zadań obliczeniowych.

Stany dwóch kubitów

Jeśli otrzymujesz dwa oddzielne kubity, jeden w stanie i drugi w stanie $\psi=\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}$$\phi=\begin{bmatrix}\beta\alpha\\\delta\gamma\end{bmatrix}$, odpowiedni stan dwóch kubitów jest podawany przez produkt tensorowy (lub produkt Kronecker), który jest zdefiniowany w następujący sposób

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\\\beta\begin{bmatrix}\gamma\\\delta\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\gamma\\\alpha\delta\\\beta\gamma\\\beta\delta\end{bmatrix}. $$

W związku z tym, biorąc pod uwagę dwa stany $\psi$ pojedynczego kubitu i $\phi$, każdy z wymiarów 2, odpowiedni stan $\psi\otimes\phi$ dwóch kubitów jest 4-wymiarowy. Wektor

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

reprezentuje stan kwantowy na dwóch kubitach, jeśli

$$|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2+|\alpha_{{10}|^2+|\alpha_{{11}|^2=1.$$

Ogólnie rzecz biorąc, widać, że stan $kwantowy n$ kubitów jest reprezentowany przez wektor $jednostki v_1 \otimes v_2 v_n\otimes\cdots$\otimeswymiaru $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots= 2^n$ przy użyciu tej konstrukcji. Podobnie jak w przypadku pojedynczych kubitów, wektor stanu kwantowego wielu kubitów zawiera wszystkie informacje potrzebne do opisania zachowania systemu. Aby uzyskać więcej informacji na temat wektorów i produktów tensorowych, zobacz Vectors and Matrices in Quantum Computing (Wektory i macierze w obliczeniach kwantowych).

Podstawa obliczeniowa dla stanów dwóch kubitów jest tworzona przez produkty tensorowe stanów bazowych z jednym kubitem. Na przykład masz

\begin{align}00 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes 1 \\ 0 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1 \\ 0 0\\ 0\\\end{bmatrix},\qquad 01 \equiv\begin{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}\otimes0 1\begin{bmatrix}=\end{bmatrix} 0 \\ 1\\\\\end{bmatrix}0 0 0,\\ 10\begin{bmatrix}\equiv 0 \\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}1 \\ 0&\end{bmatrix} amp;=\begin{bmatrix}0 0 \\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix},\qquad 11\begin{bmatrix}\equiv 0 \\ 1\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}=0 0 \\ 0\\\\ 1 .\end{bmatrix} \end{align}

Należy pamiętać, że chociaż zawsze można wziąć tensorowy produkt dwóch stanów jednego kubitu w celu utworzenia stanu dwóch kubitów, nie wszystkie dwa stany kwantowe kubitu można zapisać jako produkt tensor dwóch stanów jednokrotnych. Na przykład nie ma stanów $\psi=\begin{bmatrix}\alpha\beta\end{bmatrix}$\\i\gamma$\phi=\begin{bmatrix}\\\delta\end{bmatrix}$ tak, że ich produkt tensorowy jest stanem

$$\psi\otimes\phi=\begin{bmatrix}1/\sqrt{{2}\\ 0 \\ 0 \\ 1/.\sqrt{{2}\end{bmatrix}$$

Taki stan dwóch kubitów, który nie może być zapisany jako produkt tensorowy stanów jednokrotnych, jest nazywany cudzysłów &; splątane cudzysłów;&mówi się, że dwa kubity są splątane. Luźno mówiąc, ponieważ stan kwantowy nie może być uważany za produkt tensorowy pojedynczych stanów kubitów, informacje, które zawiera stan, nie są ograniczone do żadnego z kubitów indywidualnie. Zamiast tego informacje są przechowywane nie lokalnie w korelacjach między dwoma stanami. Ta nielokalność informacji jest jedną z głównych cech wyróżniających obliczeń kwantowych na potrzeby przetwarzania klasycznego i jest niezbędna dla wielu protokołów kwantowych, w tym korekty błędów kwantowych.

Mierzenie stanów dwóch kubitów

Pomiar stanów dwóch kubitów jest bardzo podobny do pomiarów pojedynczego kubitu. Mierzenie stanu

$$\begin{bmatrix}\alpha_{{00}\\\alpha_{{01}\\\alpha_{{10}\\\alpha_{{11}\end{bmatrix}$$

daje 00 z prawdopodobieństwem _{{00}|^2$, $01$ z prawdopodobieństwem $|\alpha_^2, $10$ z prawdopodobieństwem$|\alpha _^2$$ i $11$ z prawdopodobieństwem{10}|$|\alpha$|\alpha{ _{01}|{11}|^2.$$$ Zmienne $\alpha_, \alpha_{00}, \alpha_{{01}{10}{i $\alpha_{11}$ zostały celowo nazwane,$ aby to połączenie było jasne. Po pomiarze, jeśli wynik wynosi $00$, stan kwantowy systemu dwóch kubitów został zwinięty i jest teraz

$$ 00 \equiv\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0 \\ 0 \\\end{bmatrix}. $$

Możliwe jest również zmierzenie tylko jednego kubitu stanu kwantowego z dwoma kubitami. Gdy mierzysz tylko jeden kubit stanu dwóch kubitów, wpływ miary jest subtelnie inny niż pomiar dwóch kubitów. Dzieje się tak, ponieważ cały stan nie jest zwinięty do stanu podstawy obliczeniowej, a nie zwinięty do tylko jednego podsystemu. Innymi słowy, pomiar jednego kubitu stanu dwóch kubitów zwija tylko powiązany podsystem do stanu podstawy obliczeniowej.

Aby to zobaczyć, rozważ pomiar pierwszego kubitu następującego stanu, który jest tworzony przez zastosowanie przekształcenia $Hadamard H$ na dwóch kubitach początkowo ustawionych na &cudzysłów; 0&cudzysłów; stan:

$$H^{\otimes 2}\left( \begin{bmatrix}1 \\ 0 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\right)\frac{=&{1}{2}\begin{bmatrix} 1 amp&; 1 amp&; 1 amp &\\\\&&&; 1 1 amp; -1 amp; -1 1 amp&&; -1 amp; -1 amp; -&\\1 1 amp; -1 amp; -1 amp; -1 amp; -&&1 amp; \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 1\\ 0 0\\\\\end{bmatrix}=\\\\\begin{cases}\text{\\\frac{\mapsto\end{bmatrix}{1}{2}\begin{bmatrix} 0 1 1 1 1 wynik }=0 & \frac{{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 1\\ 0 0\text{\end{bmatrix}\\\\ wynik }=1 & \frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}\\0 0\\\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\\\end{cases}. $$ Oba wyniki mają 50% prawdopodobieństwa wystąpienia. Może to być intuited z faktu, że stan kwantowy przed pomiarem nie zmienia się, jeśli $wartość 0$ zostanie zamieniona z $1$ na pierwszym kubitie.

Reguła matematyczna do pomiaru pierwszego lub drugiego kubitu jest prosta. Niech $$ e_k być $k^{\rm th}$ wektorem podstawy obliczeniowej i $S$ być zestawem wszystkich $e_k$ tak, że kubit, którego dotyczy pytanie, przyjmuje wartość $1$ dla tej wartości $k.$ Jeśli na przykład interesuje Cię pomiar pierwszego kubitu$$, S będzie składać się z $e_1\equiv 10$ i $e_3\equiv 11$. Podobnie, jeśli interesuje Cię drugi kubit $S$ , składa się z $e_2\equiv 01$ i $e_3 \equiv 11$. Następnie prawdopodobieństwo pomiaru wybranego kubitu na wartość $1$ dotyczy wektora stanu $\psi$

$$ P(\text{wynik}=1)=\sum_{e_k \text{ w zestawie } S}\psi^\dagger e_k e_k^\dagger\psi. $$

Uwaga

W tym artykule do etykietowania podstaw obliczeniowych użyto małego formatu endian . W niewielkim formacie endian najmniej znaczące bity są najpierw. Na przykład liczba cztery w formacie little-endian jest reprezentowana przez ciąg bitów 001.

Ponieważ każda miara kubitu może przynieść $tylko 0$ lub $1$, prawdopodobieństwo pomiaru $0$ wynosi po prostu $1-P(\text{wynik}=1)$. Dlatego potrzebujesz tylko formuły dla prawdopodobieństwa pomiaru $1$.

Akcja, którą taka miara ma na stanie, można wyrazić matematycznie jako

$$\psi\mapsto\frac{\sum_{e_k \text{ w zestawie } S} e_k e_k^\psi}{\sqrt{\daggerP(\text{wynik}=1)}}. $$

Ostrożny czytelnik może martwić się o to, co się stanie, jeśli mianownik ma zero. Chociaż taki stan jest niezdefiniowany, nie musisz martwić się o takie zdarzenia, ponieważ prawdopodobieństwo wynosi zero!

Jeśli weźmiesz $\psi$ się za jednolity wektor stanu podany powyżej i interesuje cię pomiar pierwszego kubitu, wówczas

$$P(\text{pomiar pierwszego kubitu}=1) = (\psi^\dagger e_1)(e_1^)+(^\dagger e_3)(\psie_3\dagger\psi=|^\dagger\psi)e_1^\psi|\dagger2+|e_3^\dagger\psi|2. $$

Należy pamiętać, że jest to tylko suma dwóch prawdopodobieństwa, które powinny być oczekiwane do pomiaru wyników $10$ i $11$. W naszym przykładzie jest to obliczane na

$$\frac{{1}{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 1\\ 1\\ 1\\\end{bmatrix}\right|^2+\frac{1}{{4}\left|\begin{bmatrix}0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 1\\\\ 1 1\right|\end{bmatrix}\\^2.=\frac{{1}{{2} $$

doskonale pasuje do naszej intuicji. Podobnie stan po pierwszym kubitie jest mierzony jako $1$ można zapisać jako

$$\frac{\frac{}{2}e_1+\frac{e_3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 1\\\end{bmatrix}$$

zgodnie z naszą intuicją.

Operacje dwóch kubitów

Podobnie jak w przypadku pojedynczego kubitu każda transformacja jednostkowa jest prawidłową operacją na kubitach. Ogólnie rzecz biorąc, przekształcenie jednostkowe na $n$ kubitach jest macierzą $$ O rozmiarze 2^n^n ^n$\times (tak, aby działało na wektorach o rozmiarze $$2^n$), tak aby $U^ U^.{-1}=\dagger$ Na przykład brama CNOT (kontrolowana NOT) jest często używaną bramą dwubitową i jest reprezentowana przez następującą macierz jednostkową:

$$\operatorname{CNOT}=\begin{bmatrix} 1\ 0\ \\ 0\ 0 0\ 1\ 0\ \\ 0\ 0\ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 0\ 1\ \end{bmatrix}$$

Możemy również utworzyć bramy z dwoma kubitami, stosując bramy jednokrotne na obu kubitach. Jeśli na przykład zastosujesz bramy

$$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\ d \end{bmatrix}$$

oraz

$$\begin{bmatrix} e\ f g\\ \ h \end{bmatrix}$$

odpowiednio do pierwszego i drugiego kubitu, jest to równoważne zastosowaniu dwuklasowej unitary podanej przez ich produkt tensor: $$\begin{bmatrix} a\ b\\ c\otimes\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\ e\ f\\\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh\\\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}$$

W związku z tym można utworzyć bramy dwóch kubitów, biorąc tensorowy produkt niektórych znanych bram jednokrotnych. Niektóre przykłady bram z dwoma kubitami obejmują $H \otimes H$, $X \otimes\mathbf{1}$i $X \otimes Z$.

Należy pamiętać, że chociaż wszystkie dwie bramy z jednym kubitem definiują bramę dwukrotną, biorąc swój produkt tensorowy, odwrotnie nie jest prawdą. Nie wszystkie bramy dwubitowe mogą być zapisywane jako produkt tensor bram z jednym kubitem. Taka brama jest nazywana splątaną bramą. Jednym z przykładów splątania bramy jest brama CNOT.

Intuicja za kontrolowaną bramą nie może być uogólniona do dowolnych bram. Kontrolowana brama w ogóle jest bramą, która działa jako tożsamość, chyba że określony kubit wynosi $1$. Oznaczasz kontrolowaną jednostkę, kontrolowaną w tym przypadku na kubitie oznaczonym $etykietą $\Lambdax$ z _x(U)$. Na przykład $\Lambda_0(U) e_{1}\otimes{{\psi}=e_{1}\otimes U{\psi}$ i$\Lambda _0(U) e_{{\psi}={0}\otimese_{{0}\otimes{\psi}$ gdzie $e_0$ i $e_1$ są wektorami obliczeniowymi dla pojedynczego kubitu odpowiadającego wartościom $0$ i $1.$ Rozważmy na przykład następującą bramę kontrolowaną przez$ Z$, a następnie możesz wyrazić to jako

$$\Lambda_0(Z)=\begin{bmatrix}1& 0& 0& 0 0\\& 1& 0& 0 0\\& 0& 1& 0 0\\& 0& 0&-1 \end{bmatrix}=(\mathbf\mathbf{1}\otimes{ H)\operatorname{CNOT}(\mathbf{1}\otimes H). $$

Budowanie kontrolowanych jednostek w wydajny sposób jest poważnym wyzwaniem. Najprostszym sposobem wdrożenia tego rozwiązania jest utworzenie bazy danych kontrolowanych wersji bram podstawowych i zastąpienie każdej podstawowej bramy w oryginalnej operacji unitarnej jego kontrolowanym odpowiednikiem. Jest to często dość marnotrawne i sprytne szczegółowe informacje często można użyć, aby po prostu zastąpić kilka bram kontrolowanych wersji, aby osiągnąć ten sam wpływ. Z tego powodu struktura zapewnia możliwość wykonywania naiwnej metody kontrolowania lub zezwalania użytkownikowi na zdefiniowanie kontrolowanej wersji unitarnej, jeśli jest znana zoptymalizowana wersja dostrojona.

Bramy można również kontrolować przy użyciu informacji klasycznych. Klasycznie kontrolowana brama nie jest na przykład zwykłą bramą, ale jest stosowana tylko wtedy, gdy bit klasyczny to $1$ , w przeciwieństwie do bitu kwantowego. W tym sensie klasycznie sterowana brama może być uważana za instrukcję if w kodzie kwantowym, w którym brama jest stosowana tylko w jednej gałęzi kodu.

Podobnie jak w przypadku pojedynczego kubitu, zestaw bramek z dwoma kubitami jest uniwersalny, jeśli dowolna $macierz jednostkowa 4\times 4$ może być przybliżona przez produkt bram z tego zestawu do dowolnej precyzji. Jednym z przykładów uniwersalnego zestawu bramek jest brama Hadamarda, brama T i brama CNOT. Biorąc produkty tych bram, można przybliżyć dowolną macierz jednostkową na dwóch kubitach.

Splątanie kwantowe

Rozważmy dwa kubity $A$ i $B$ w superpozycjach, tak aby stan systemu globalnego był

$$\ket{\psi}_{AB}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$

W takim stanie możliwe są tylko dwa wyniki mierzenia stanu obu kubitów w bazie standardowej: $|00\rangle$ i $|11\rangle$. Zwróć uwagę, że każdy wynik ma takie samo prawdopodobieństwo $\frac{1}{2}$. Istnieje zerowe prawdopodobieństwo uzyskania $|wartości 01\rangle$ i $|10\rangle$. Jeśli zmierzysz pierwszy kubit i uzyskasz, że jest on w $|stanie 0\rangle$ , możesz mieć pewność, że drugi kubit jest również w $|stanie 0\rangle$ , nawet bez pomiaru. Wyniki pomiarów są skorelowane, a kubity są splątane.

Uwaga

W tych przykładach użyto dwóch kubitów, ale splątanie kwantowe nie jest ograniczone do dwóch kubitów. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje możliwość, że systemy z wieloma kubitami współużytkować splątanie.

Splątane kubity są skorelowane w taki sposób, że nie można ich opisać niezależnie od siebie. Oznacza to, że niezależnie od stanu jednego kubitu w splątanej parze, również wpływa na stan drugiego kubitu.

Aby zapoznać się z praktyczną implementacją, zobacz samouczek eksplorowania splątania kwantowego za pomocą Q# platformy i usługi Azure Quantum.

Splątanie w czystych stanach

Czyste stany kwantowe to te, które charakteryzują się pojedynczym wektorem ket lub funkcją falową i nie mogą być zapisywane jako mieszanina statystyczna (lub kombinacja wypukłych) innych stanów kwantowych. Na sferze Blocha czyste stany są reprezentowane przez punkt na powierzchni sfery, natomiast stany mieszane są reprezentowane przez punkt wewnętrzny.

Czysty stan _AB jest splątany, jeśli nie można go zapisać jako kombinacji stanów produktu podsystemów, czyli $\ket{\phi}_{AB\ket{=}a}_A\ket{\otimes b}_B.$}${$\ket{\phi}

Rozważmy na przykład stan \ket{\psi}$$_{AB}\frac{={1}{2} (\ket{{00} + + \ket{\ket{01}{10} +)\ket{{11}$$

Na początku stan $\ket{\psi}_{AB}$ nie wygląda jak stan produktu, ale jeśli ponownie zapiszemy stan jako

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

stan $\ket{\psi}_{AB}$ jest stanem produktu, dlatego nie jest splątane.

Splątanie w stanach mieszanych

Mieszane stany kwantowe to statystyczny zespół czystych stanów. Stan $mieszany \rho$ nie ma ani kwantowych, ani klasycznych korelacji, jeśli można je zapisać jako stan $produktu \rho = \rho^A}\otimes \rho^{{B}$ dla niektórych macierzy$ gęstości\rho^{A}\geq 0 , \rho^{B}\geq 0.$

Stan $mieszany \rho$ jest rozdzielany, jeśli można go zapisać jako wypukłe połączenie stanów produktu podsystemów, takich jak

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_{j\otimes} \rho^{B}_{j}$$

gdzie $p_j 0, \sum p_j = 1$ i $\rho^A}_{j}\geq 0, \rho^{{B}_{j}\geq 0$.\geq

Stan $mieszany \rho$ jest splątany, jeśli nie jest rozdzielany, czyli nie można go zapisać jako wypukłe połączenie stanów produktu.

Porada

Stan rozdzielny zawiera tylko korelacje klasyczne.

Opis klasycznych korelacji

Korelacje klasyczne wynikają z braku wiedzy o stanie systemu. Oznacza to, że istnieje pewna losowość związana z klasyczną korelacją, ale można ją wyeliminować, zdobywając wiedzę.

Rozważmy na przykład dwa pola, z których każda zawiera jedną kulkę. Wiemy, że obie kulki są w tym samym kolorze, niebieskim lub czerwonym. Jeśli otworzymy jedno pole i dowiemy się, że piłka wewnątrz jest niebieska, to wiemy, że druga piłka też jest niebieska. W związku z tym są one skorelowane. Jednak niepewność, jaką mamy podczas otwierania pola, wynika z braku wiedzy, to nie jest fundamentalne. Piłka była niebieska, zanim otworzyliśmy pole. W związku z tym jest to klasyczna korelacja, a nie korelacja kwantowa.

Mieszany stan kwantowy systemu utworzonego przez dwa pola $\rho_{boxy}$ można zapisać jako

$$\rho_{boxes}\frac{={1}{2} (\ket{czerwony}\bra{czerwony}_\otimes{}\ket{czerwony}\bra{}_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{niebieski}\bra{}_A\ket{\otimes niebieski}\bra{}_B)$$

Zwróć uwagę, że stan $\rho_{boxes}$ jest rozdzielony, gdzie $p_1 p_2 ==\frac{1}{2}$ następnie zawiera tylko klasyczne korelacje. Innym przykładem mieszanego stanu możliwego do rozdzielenia jest

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{0}\bra{{0}_A _B\ket{0}\bra{0}\otimes) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A _B)\otimes\ket{{1}\bra{{1}$$

Teraz rozważmy następujący stan:

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + \ket{\ket{11}\bra{00}{00}\bra{11} + \ket{{11}{11}\bra{) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

W tym przypadku nasza wiedza o stanie jest idealna, wiemy z maksymalną pewnością, że system $AB$ jest w stanie $\ket{\phiBell ^+}$ i $\rho$ jest czystym stanem. W związku z tym nie ma klasycznych korelacji. Ale jeśli mierzymy obserwowalny w podsystemie $A$, uzyskujemy losowy wynik, który daje nam informacje o stanie podsystemu $B$. Ta losowość jest podstawowa, a mianowicie są to korelacje kwantowe.

Przykładem stanu kwantowego, który zawiera zarówno korelacje klasyczne, jak i kwantowe, jest

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Porada

  • Jeśli splątany stan $\rho$ jest czysty, zawiera tylko korelacje kwantowe.
  • Jeśli splątany stan $\rho$ jest mieszany, zawiera zarówno korelacje klasyczne, jak i kwantowe.

Systemy wiele kubitów

Podążamy dokładnie za tymi samymi wzorcami opisanymi w przypadku dwóch kubitów, aby utworzyć stany kwantowe z wielu kubitów z mniejszych systemów. Takie stany są budowane przez tworzenie produktów tensorowych mniejszych stanów. Rozważmy na przykład kodowanie ciągu $bitowego 1011001$ na komputerze kwantowym. Możesz to zakodować jako

$$1011001 0 \\ 1 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\\ 0 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\\ 1 \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 1\otimes\begin{bmatrix}\end{bmatrix}1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes1 \\ 0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\\ 1 .\end{bmatrix}\equiv\begin{bmatrix} $$

Bramki kwantowe działają dokładnie w taki sam sposób. Jeśli na przykład chcesz zastosować bramę X$ do pierwszego kubitu$, a następnie wykonać CNOT między drugim i trzecim kubitem, możesz wyrazić to przekształcenie jako

\begin{\begin{align}&Amp; (X \otimes\operatorname{CNOT}_{{12}\otimes\mathbf{1}\otimes \mathbf \mathbf{\mathbf{1}\otimes\otimes\mathbf{1}{ \mathbf{\mathbf{1}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 1 \end{bmatrix}\otimes\\\begin{bmatrix} 0 0 \end{bmatrix}\otimes\\\begin{bmatrix} 1\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes0 \\ 1 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes0\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\otimes\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\\\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\\&\qquad\qquad\equiv 0011001. \end{align}

W wielu systemach kubitów często trzeba przydzielić i cofnąć przydział kubitów, które służą jako pamięć tymczasowa dla komputera kwantowego. Taki kubit jest mówi się, że jest pomocniczy. Domyślnie można założyć, że stan kubitu jest inicjowany do $e_0$ podczas alokacji. Można dalej założyć, że jest zwracany ponownie do $e_0$ przed cofnięciem przydziału. To założenie jest ważne, ponieważ jeśli kubit pomocniczy staje się splątany innym rejestrem kubitów, gdy zostanie cofnięty przydział, proces cofnięcia przydziału spowoduje uszkodzenie kubitu pomocniczego. Z tego powodu zawsze zakładasz, że takie kubity są przywracane do stanu początkowego przed zwolnieniem.

Wreszcie, mimo że nowe bramy musiały zostać dodane do naszego zestawu bram w celu osiągnięcia uniwersalnego obliczeń kwantowych dla dwóch komputerów kwantowych kubitów, nie trzeba wprowadzać nowych bram w przypadku wielu kubitów. Bramy $H$, $T$ i CNOT tworzą uniwersalną bramę ustawioną na wielu kubitach, ponieważ każda ogólna transformacja jednostkowa może zostać podzielona na serię dwóch rotacji kubitów. Następnie możesz wykorzystać teorię opracowaną dla przypadku dwóch kubitów i użyć jej ponownie tutaj, gdy masz wiele kubitów.

Uwaga

Chociaż notacja algebrai liniowa, która była używana do tej pory, z pewnością może być używana do opisywania stanów wielokubitowych, staje się coraz bardziej kłopotliwa w miarę zwiększania rozmiaru stanów. Wynikowy wektor kolumnowy o długości 7-bitowej, na przykład, jest $128-wymiarowy$ , co sprawia, że wyrażanie go przy użyciu notacji opisanej wcześniej bardzo kłopotliwe. Zamiast tego używana jest notacja Dirac, symboliczna skrót, która upraszcza reprezentację stanów kwantowych. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Notacja Dirac.

Następne kroki