Praca z wektorami i macierzami w obliczeniach kwantowych

  • Artykuł

Znajomość wektorów i macierzy jest niezbędna do zrozumienia obliczeń kwantowych. Artykuł Algebra liniowa do obliczeń kwantowych zawiera krótki moduł odświeżania, a czytelnicy, którzy chcą bardziej szczegółowo poznać, zalecamy przeczytanie standardowego odwołania do algebry liniowej, takiej jak Strang, G. (1993). Wprowadzenie do algebry liniowej (Vol. 3). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press lub odwołanie online, takie jak Algebra liniowa.

Wektory

Wektor kolumny (lub po prostu wektor) $v$ wymiaru (lub rozmiaru) $n$ jest kolekcją $n$ liczb $zespolonych (v_1,v_2,\ldots,v_n)$ rozmieszczonych jako kolumna:

$$v=\begin{bmatrix}\\ v_1 v_2\\ \vdots\\ v_n\end{bmatrix}$$

Normą wektora $v$ jest zdefiniowana jako $\sqrt{\sum_i v_i||^2}$. Mówi się, że wektor jest normą jednostkową (lub alternatywnie jest nazywana wektorem jednostkowym), jeśli jej normą jest $1$. Adjotacja wektora$v$ jest oznaczona $jako v^\dagger$ i jest definiowana jako następujący wektor wiersza, gdzie $*$ oznacza złożony sprzężenie,

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

Zwróć uwagę, że istnieje rozróżnienie między wektorem kolumny v a wektorem $$wiersza v^\dagger$.$

Produkt wewnętrzny

Dwa wektory można mnożyć razem przez produkt wewnętrzny, znany również jako produkt kropkowy lub produkt skalarny. Jak wskazuje nazwa, wynik wewnętrznego iloczynu dwóch wektorów jest skalarny. Produkt wewnętrzny daje projekcję jednego wektora na inny i jest nieoceniony w opisie sposobu wyrażania jednego wektora jako sumy innych prostszych wektorów. Iloczyn wewnętrzny między dwoma wektorami $kolumn u=(u_1 , u_2 , \ldots , u_n)$ i $v=(v_1 , v_2 , \ldots , v_n)$, oznaczony $\left\langle jako u, v\right\rangle$ jest zdefiniowany jako

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^{*} v_1 + \cdots _n^{*} v_n.\\\begin{bmatrix} $$

Ta notacja umożliwia również zapisanie normy wektora $v$ jako $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Wektor może być mnożony przez liczbę $c$ , aby utworzyć nowy wektor, którego wpisy są mnożone przez $c$. Można również dodać dwa wektory $u$ i $v$ , aby utworzyć nowy wektor, którego wpisy są sumą wpisów $u$ i $v$. Te operacje są następujące:

$$\mathrm{Jeśli u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{i}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n,au~\mathrm{}~\end{bmatrix}+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n .\end{bmatrix}\\\\=\begin{bmatrix}}~ $$

Macierz rozmiaru $m \times n$ to kolekcja $liczb zespolonych mn$ rozmieszczonych w $wierszach m$ i $n$ kolumnach, jak pokazano poniżej:

$M =\begin{bmatrix} M_{11}{~~ M_{12}\cdots~~~~ M_1n}\\ M_~~{{21}{ M_{\cdots{22}~~~~ M_{2n\ddots\\}\\ M_{m1}~~ M_m2~~\cdots}~~ M_{{mn.}\\\end{bmatrix}$

Należy pamiętać, że wektor wymiaru $n$ jest po prostu macierzą o rozmiarze $n \times 1$. Podobnie jak w przypadku wektorów, macierz można pomnożyć z liczbą $c$ w celu uzyskania nowej macierzy, w której każdy wpis jest mnożony c$$, a dwie macierze o tym samym rozmiarze można dodać w celu utworzenia nowej macierzy, której wpisy są sumą odpowiednich wpisów dwóch macierzy.

Mnożenie macierzy

Można również pomnożyć dwie macierze M wymiaru m n i $$ N$ wymiaru $n \times p$, aby uzyskać nową macierz $P wymiaru $M \times$ p$ w następujący sposób:\times$$$

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix}{{11}~~ M_ M_\cdots{12}~~~~ M_1n{21}{~~{~~~~\cdots{22}}\\ M_{ M_ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1~~} M_{m2}\cdots{~~~~ M_mmn N_ N_ N_{1p}\\ N_{{21}~~ N_\cdots~~~~{22} N_2p\ddots\\}\\ N_{{n1~~} N_{n2~~}}~~{11}{\begin{bmatrix}{12}~~\cdots~~{\cdots\end{bmatrix}~~ N_np~~}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{11} P_ P_ {12}~~\cdots~~{P_1p}\\ P_~~{{21} P_{22}~~\cdots{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1~~} P_m2}~~~~\cdots P_mp{{}\end{bmatrix}\end{align}$$

gdzie wpisy $P$ są $P_{ik}\sum=_j M_{ij}N_{jk.}$ Na przykład wpis $P_{11}$ jest wewnętrznym iloczynem pierwszego wiersza $języka M$ z pierwszą kolumną $N$. Należy pamiętać, że ponieważ wektor jest po prostu specjalnym przypadkiem macierzy, ta definicja rozszerza się na mnożenie wektorów macierzowych.

Wszystkie macierze, które uważamy, będą macierzami kwadratowymi, w których liczba wierszy i kolumn jest równa, lub wektorów, co odpowiada tylko $1$ kolumnie. Jedna specjalna macierz kwadratowa to macierz tożsamości, oznaczona $\mathbb{\mathbb{I}$jako , która ma wszystkie jego elementy ukośne równe $1$ , a pozostałe elementy równe $0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0 0\cdots~~~~ 0 ~~\\ 1\cdots~~~~0 0\ddots\\~~\\ 0 ~~\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

W przypadku macierzy $kwadratowej A$ macierz $B$ jest odwrotnością , jeśli $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Odwrotność macierzy nie musi istnieć, ale gdy istnieje, jest unikatowa i oznaczamy ją $A^{-1}$.

Dla każdej macierzy $M, adjoint lub sprzężenia transponu $M$ jest macierz $N$ tak, że $N_ij}= M_{{ji}^*$.$ Adjotacja $języka M$ jest zwykle oznaczona $jako M^\dagger$. Macierz $U$ jest jednostkowa, jeśli $UU^\dagger= U^ U^ U =\mathbb{I}$ lub równoważne, $U^\dagger U^={{-1} U^.\dagger$ Jedną z ważnych właściwości macierzy jednostkowych jest zachowanie normy wektora. Dzieje się tak, ponieważ

$\langlev,v^ v^ v^\dagger U^{-1} U=^ U^ U^ U^\dagger\dagger U v =\langle v V, U v.\rangle=\dagger\rangle=$

Macierz $M$ mówi się, że hermitian , jeśli $M=^\dagger$.

Produkt Tensor

Kolejną ważną operacją jest produkt Kronecker, nazywany również produktem bezpośrednim macierzy lub produktem tensorowym. Należy pamiętać, że produkt Kronecker różni się od mnożenia macierzy, co jest zupełnie inną operacją. W teorii obliczeń kwantowych produkt tensor jest często używany do oznaczania produktu Kronecker.

Rozważmy dwa wektory $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ i $u =\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}$. Ich produkt tensor jest oznaczony jako $v \otimes u$ i powoduje macierz bloków.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=\begin{bmatrix} c \\ d \\ e e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d \\ e\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}= a c \\ a d \\ a e \\ b b \\ b d \\\end{bmatrix}$$

Zwróć uwagę, że produkt tensor jest operacją na dwóch macierzach lub wektorach o dowolnym rozmiarze. Iloczyn tensorowy dwóch macierzy $M$ o rozmiarze m\times n$ i $N$ wielkości $$p \times q$ jest większą macierzą $P=M\otimes N$ o rozmiarze $mp \times nq$ i jest uzyskiwany z $M$ i $N$ w następujący sposób:

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~~~\cdots{11}M_ M_{1n\\\ddots\\} M_{m1}~~~~\cdots M_{mn\begin{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}} N_~~~~{11}\cdots{ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}{11}M_ N_~~{\cdots~~{11} N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}~~\cdots N_{pq\end{bmatrix}~~\cdots}~~ M_{1n~~{11}\begin{bmatrix}\cdots}~~ N_ N_{1q}\\{\ddots\\ N_p1~~}\cdots~~ N_{pq{}\ddots\\\end{bmatrix}\\ M_m1{{11}\cdots~~}\begin{bmatrix}~~ N_ N_{1q\ddots\\}\\ N_{p1 N_{pq}\cdots~~~~~~\cdots}\end{bmatrix}~~ M_{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq.}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

Jest to lepiej pokazane z przykładem: $$a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} b e\begin{bmatrix}\ f\\\ h\\\end{bmatrix} [1em] c\begin{bmatrix} e\ f\ h\\\end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f\ f\\\ h\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

Ostateczna przydatna konwencja notacyjna wokół produktów tensorowych polega na tym, że w przypadku każdego wektora $v$ lub macierzy $M$$^ n, v^{\otimes n}$ lub $M^{\otimes n}$ jest krótka ręka $dla n-krotnego$ powtarzanego produktu tensorowego. Na przykład:

\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} 1 0 ^ 1 1=}\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix}\\, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2=}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0 \\\\0\end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 1 \\ -\\\\1 1\end{bmatrix}, \\&\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^ 1\begin{bmatrix}}= 0& 1 \\ 1 amp; 1& 0 , \qquad\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}& 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes{\otimes 2\begin{bmatrix}}= 0 &{\otimes\end{bmatrix}\\ 0& 0& 1 \\ 0 & 0& 1& 0 0 \\& 1& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\end{bmatrix}. \end{align}

Następne kroki